calculations methods for bicircular quartics?

this activity is a page of geogebra-book elliptic functions & bicircular quartics & . . .(27.04.2023)

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Eine ebene algebraische Kurve 4.-Ordnung wird bizirkulare Quartik genannt, wenn sie einer Gleichung des folgenden Typs genügt:

mit reellen

Diesen reell 9-dimensionalen Raum nach geometrischen Gesichtspunkten zu ordnen und den Zusammenhang mit elliptischen Funktionen aufzuklären, ist nicht so einfach. In dem wunderschönen Buch "Geometriekalküle" von J. Richter-Gebert und T. Orendt, Springer 2009, wird vorgeführt, wie sich manche geometrische Phänomene mit einem passenden Kalkül "einfach" darstellen und überzeugend beweisen lassen. Für den im vorliegenden geogebra-book aufzudeckenden Zusammenhang zwischen Kreisscharen, elliptischen Funktionen und bizirkularen Quartiken fehlt uns noch der geeignete Kalkül. Ein Ansatz bietet die räumliche projektive Geometrie: stereographisch auf die Kugel projiziert, können bizirkulare Quartiken als Schnittkurven der Kugel mit irgendeiner 2. Quadrik gedeutet werden: als Kalkül ist die lineare Algebra der Quadriken im Raum zu nutzen. Ein anderer Ansatz ist die Darstellung der Möbiusgruppe als

und deren Wirkung auf ihre LIE-Algebra

. Die LIE-Algebra erweist sich als Komplexifizierung des euklidischen Vektorraumes: das LIE-Produkt ist das komplexe Kreuzprodukt, Orthogonalität wird über eine symmetrische Bilinearform (kein Skalarprodukt!) definiert. Die komplexen Vektoren lassen sich als Kreisbüschel bzw. als deren Isogonaltrajektorien deuten. Elliptische Funktionen erhält man jeweils durch eine 2. quadratische Form, bizirkulare Quartiken werden erklärt durch HERMITEsche Formen. Der Zusammenhang zwischen bizirkularen Quartiken und den zugehörigen elliptischen Funktionen wird durch einen im obigen Sinne "passenden" Kalkül vermittelt: Das Quadrat einer Hermiteschen Form ergibt die zugeordnete symmetrische Bilinearform der elliptischen Funktion. Umgekehrt: Zu einer elliptischen Funktion mit reellen Koeffizienten (die absolute Invariante ist reell!) berechnet man einfach eine Schar von HERMITEschen Wurzeln, deren zugeordneten bizirkularen Quartiken die konfokalen Quartiken der elliptischen Funktion sind. Diesen "Kalkül" stellen wir im Anhangs-Kapitel kurz vor.

In den folgenden Aktivitäten dieses Kapitels stellen wir mitunter ohne Beweis mit Hilfe der Symmetrieen und der Leitkreise die wichtigsten geometrischen Eigenschaften der bizirkulare Quartiken vor.

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