Discovery aplicado a la posición 2
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Inclinando la botella de Piaget con GeoGebra Discovery.
Queremos que Discovery nos ayude a realizar la construcción que aparece en la actividad Alcanzando la base inferior.
Para ello, abrimos GeoGebra Discovery y desde esa página buscamos la URL de esta actividad (https://www.geogebra.org/m/axyhw3gh). [Alternativamente, también podemos descargar previamente la construcción en nuestro ordenador, pulsando aquí.] GeoGebra Discovery abrirá la construcción que contiene, que es la siguiente (copia de la que aparece en "Alcanzando la base inferior"):
Al realizar esa construcción habíamos razonado que el punto E debía ser tal que AE fuera la media geométrica de AB y AG, es decir, que el triángulo BEG debía ser rectángulo, y habíamos definido E para que lo fuera. Pero ahora queremos que sea Discovery quien nos ayude a encontrar tal posición de E, que iguala las áreas del triángulo azul AEF y el rectángulo amarillo.
Para ello, redefinimos E como un punto arbitrario en el segmento AA':
AA' = Segmento(A, A')
E = Punto(AA')
y creamos los demás segmentos necesarios para comparar las áreas:
AH = Segmento(A, H)
AE = Segmento(A, E)
AF = Segmento(A, F)
Ahora ya podemos usar el comando EcuaciónLugar. Discovery mostrará el lugar que debe ocupar E para que las áreas coincidan:
EcuaciónLugar(2 AH AA'==AE AF, E)
El resultado será similar al que muestra la siguiente imagen. El lugar que encuentra Discovery está representado por los puntos naranjas, pero solo uno de ellos nos interesa: el que descansa en el segmento AA'.
Nota: Observemos de nuevo que en el lugar geométrico aparece como solución, además de E, otros tres puntos Este tipo de “extra” soluciones, de algún modo simétricas, se da con frecuencia al operar con expresiones algebraicas, que es lo que hace Discovery internamente, y se debe a que el punto A' está definido como un punto de una circunferencia, pero no es posible aislar un solo punto de la misma sin introducir raíces cuadradas, lo que está fuera del marco polinómico en el que GeoGebra Discovery realiza internamente los cálculos correspondientes.
Como vemos, Discovery descubre automáticamente dónde poner E para que ambas áreas sean iguales. Pero ahora nos toca a nosotros observar qué tiene de particular esa posición. ¡Pero en este caso, tal posición no nos ofrece ninguna pista! Hay que tener en cuenta que los puntos B y G (que habían sido claves para la demostración "humana") no aparecerían en la construcción sin esa intervención humana. Y sin ellos, no parece que la posición representada por el punto naranja en el segmento AA' se diferencia significativamente de cualquier otra posición.
Tenemos aquí un buen ejemplo de que no siempre Discovery puede facilitarnos la realización de conjeturas.
Pasemos pues a suponer que sabemos construir E y veamos cómo Discovery demuestra que esa posición es la correcta. Para ello, volvemos a abrir la construcción (buscamos la URL https://www.geogebra.org/m/axyhw3gh de esta actividad para volver a abrirla) pues en ella ya estaba construido E.
Creamos nuevamente los segmentos necesarios para comparar las áreas:
AA' = Segmento(A, A')
AH = Segmento(A, H)
AE = Segmento(A, E)
AF = Segmento(A, F)
Ahora ya podemos ejecutar el comando Relación:
Relación(2 AH AA', AE AF)
Discovery nos confirma que ambas áreas son iguales, pero solo nos garantiza una comprobación numérica, no una demostración simbólica. No es lo que buscamos.
Este resultado infructuoso (el motivo está siendo analizado en el momento de escribir este artículo) no debe hacernos pensar que Discovery no nos puede ayudar. Veamos una manera de conseguirlo. Si modificamos ligeramente nuestro primer impulso y prescindimos del factor 2, tenemos:
Relación(AH AA', AE AF)
Por supuesto, Discovery responderá en principio que ambas áreas no son iguales:
Pero al pulsar sobre "Más..." aparecerá el cuadro que muestra la siguiente imagen, en donde nos demuestra que el área amarilla (AA' AH) es exactamente igual al área azul (AE AF / 2):
