Copia de Potencias de un número complejo
A partir de este applet podrás entender mejor las potencias de un número complejo, así como la explicación de la fórmula de Moivre.
Las potencias de un número complejo corresponden a otros números que siguen una progresión aritmética, es decir:
/A^2/=/A/^2
/A^3/=/A/^3
/A^4/=/A/^4
Por tanto, el módulo de una potencia de base compleja y exponente entero es igual a la potencia del módulo. /z^n/=/z/^n
En el caso de los argumentos, crecen en progresión aritmética, de manera que el argumento de la potencia n-ésima corresponde a n veces el argumento inicial. De ahí deriva la fórmula de Moivre, que dice que para un número complejo con módulo r y argumento α, su potencia n-ésima tiene módulo r^n y argumento n·α.
Teniendo en cuenta que los módulos van en progresión geométrica, hay tres casos que considerar:
Módulo menor que 1: las potencias de los módulos entre 0 y 1 van decreciendo, de manera que en este caso los puntos se van acercando al origen en espiral.
Módulo igual a 1: en este caso todos los módulos son siempre iguales a 1. En tal circunstancia, las potencias de A se organizan sobre la circunferencia unitaria.
Módulo mayor que 1: las potencias de los módulos mayores que 1 crecen, por lo que estos puntos se van alejando del origen también en espiral.
Los argumentos de todos estos puntos varían siempre de la misma forma, aumentan en progresión aritmética, de manera que, ya sean espirales o polígonos los que se forman, se organizan en el sentido contrario a las manecillas del reloj.
Si mueves el número A podrás observar las figuras que se forman y el valor de sus potencias. En la vista algebraica se puede observar el argumento y el módulo de A.
1. Comprueba qué sucede con la figura formada cuando quieres obtener la potencia de un número complejo muy grande.
2. Obtén, a partir del applet, el resultado de:
a) 0+i^1
b) 0+i^3
c) 0+i^4
d) 0+i^10
3. Calcula las siguientes expresiones
a) (0.5+3i)^3
b) (0.3+0.2i)^12
c) (1.2+0.16)^25
d) (6+2i)^2
Utiliza el zoom cuando te sea necesario.