Przykład 1.1
Funkcja określona wzorem
dla
posiada minimum lokalne w punkcie o wartości Rzeczywiście, istnieje otoczenie punktu takie, żedla każdego
Ponadto ponieważ dla każdego , więc jest to minimum lokalne właściwe. A zatem punkt jest lokalnie (ale i globalnie) najniżej położonym punktem na wykresie funkcji .| ! | Zauważmy, że wykresem funkcji jest paraboloida obrotowa o wierzchołku w punkcie , czyli jedna z podstawowych powierzchni które przedstawiamy w rozdziale ... . Umiejętność rozpoznania typu powierzchni, która jest wykresem badanej funkcji, może być przydatna w postawieniu hipotezy dotyczącej istnienia ekstremów lokalnych (globalnych) tej funkcji. |
Ćwiczenie.
Niech dla . Naszkicuj odręcznie wykres funkcji , a następnie zastanów się, co można powiedzieć o ekstremach lokalnych tej funkcji. W powyższym aplecie zdefiniuj funkcję oraz zaznacz na jej wykresie wyznaczony punkt ekstremalny.
Odpowiedź.