Limiti - un approccio più teorico
Nello scorso paragrafo abbiamo introdotto il concetto di limite e ne abbiamo visto alcuni esempi calcolando "a mano" alcuni risultati di una funzione, deducendone il comportamento "vicino" ad un certo valore della .
Cerchiamo ora di riformulare gli stessi concetti in modo più teorico e generale, che ci permetterà di comprendere meglio l'approccio che poi seguiremo per il calcolo effettivo dei limiti.
Come abbiamo detto, strumento del limite è particolarmente utile in punti particolari in cui la funzione non esiste. Nell'animazione che segue, tuttavia, per entrare un po' più nel dettaglio sul concetto di limite considereremo un punto qualsiasi APPARTENENTE al dominio della funzione, per renderne più facile la visualizzazione.
Un aspetto importante è che lo strumento di limite studia il comportamento della funzione per le VICINO al valore per cui si sta calcolando il limite, mentre NON CONSIDERA IL RISULTATO DELLA FUNZIONE PER IL VALORE (risultato che, lo ricordiamo, si chiama "immagine" della funzione in quel punto). Come abbiamo detto, infatti, i casi più interessanti sono quelli per cui la funzione NON ESISTE in .
Ne consegue che il limite di una funzione per che tende ad un certo valore e l'eventuale immagine della funzione in quel punto NON SONO, in generale, UGUALI. Ne vediamo un esempio nella prossima animazione.
Negli esempi visti finora ci siamo serviti del grafico della funzione per visualizzare il concetto di limite. Ovviamente quello che impareremo a fare sarà il procedimento inverso: impareremo a calcolare i limiti partendo dall'espressione algebrica della funzione, e grazie ai risultati trovati saremo in grado di tracciare il grafico.
Per assicurarci di aver capito il concetto, tuttavia, visualizziamo ancora qualche esempio - in particolare un altro caso di funzione con un punto un po' particolare in cui capire quanto vale il limite non è così immediato - in modo da mettere in evidenza le particolirità di questo strumento.
nella prossima animazione vediamo il caso di una funzione per la quale NON si trova nessun limite per che tende ad un certo valore di , anche se si trovano dei risultati parziali che riescono a descrivere almeno alcuni aspetti del comportamento della funzione vicino a quel punto.