Tetràedres filcèntrics
Quina és la condició necessària i suficient perquè un tetràedre sigui filcèntric?
Els autors van demostrar condició necessària; no van aconseguir demostrar-ne la suficiència però van fer tants exemples diversos que "tot els feia pensar que sí". I és certa.
Quina és la propietat? Resulta d'una aplicació interessant de la propietat de les tangents a una esfera per un punt exterior:
El tetràedre filcèntric de l'applet amb què hem introduït el concepte es presentava en el treball amb la figura següent, a la qual hem afegit noms per als vèrtexs:
El sabríeu dibuixar "exacte" amb el GeoGebra?
Actualment no és possible calcular geomètricament, amb el GeoGebra, el punt d'intersecció de tres esferes. Tanmateix, per a aquest càlcul, podem observar l'eficàcia del treball amb el CAS del GeoGebra.
És clar que no és cap restricció prendre "la base" en el pla XY. Agafem A(0,0,0), B(3,0,0), C(0,4,0).
Aplicant les distàncies que interessen per formular sengles equacions en les primeres files del CAS es poden obtenim dos possibles valor del vèrtex que busquem (simètrics respecte el pla XY, naturalment). Vegeu-ho:
En la línia 5 inicialment es calcula la solució del sistema format per les equacions e1, e2, e3
Però si fem que la solució de la línia 5 esdevingui activa quan es redacta aquest document (*) la linia 5 esdevé automàticament:
( (*) Funcionament amb la versió 5.0.263; sembla una mica anòmal i pot ser que canviï en versions posteriors)
Ja tenim una llista de punts! I tot seguit podem crear el punt D amb el comandament
D= Element[Llista1, 2].
Veureu que coincideix del tot amb el valor aproximat que se'n donava en el treball, allà calculat "a mà", que era D= (0, -0.5, 3.97).
I ara com ho farem per a determinar el punt que pot ser el filcentre?
Si ja teniu construït el tetràedre que compleix la condició de suma d'arestes oposades, per a determinar-lo teniu una macro a la vostra disposició en el conjunt de macros preparades per a aquest taller. Recordeu que les teniu en el fitxer .ggb Eines Tetràedre (Taller c2em) que teniu compartit. Ara seran útils l'eina PlaBisectorArestes i l'eina InterseccióTresPlans (que, alternativament, també podeu descarregar com a eines .ggt en aquest enllaç).
Quins tres plans podem fer servir?
Tenint en compte que l'eina PlaBisectorArestes està preparada per al seu ús en un tetràedre i demana primer el vèrtex i després els altres dos vèrtexs que determinen les arestes, tres plans bisectors d'arestes que es tallen segur en un punt són (per exemple): PlaBisectorArestes[A,B,C], PlaBisectorArestes[D,B,A] i PlaBisectorArestes[C,D,B]. Aquests tres plans es poden construir i es tallen en un punt en qualsevol tetràedre però no asseguren que el punt comú estigui a la mateixa distància de totes sis arestes. només de quatre. Ara bé, si existeix filcentre segur que ha de ser aquest punt.
Podeu obrir amb el GeoGebra (**) el fitxer compartit filcentre exemple 1 i allà teniu fets tots els càlculs que permeten determinar el filcentre d'aquest exemple, que té coordenades aproximades (1, 1, 1.134) i hi teniu dibuixada l'esfera tangent a les sis arestes.
(**) no s'incorpora el fitxer en aquest llibre perquè, si treballem amb la versió del programa incorporada per defecte en el repositori de materials, hi ha una anomalia de funcionament que no succeeix si treballem directament amb el GeoGebra.
És un bon moment per investigar si realment el punt obtingut és el centre d'una esfera tangent a les sis arestes,
Això mateix s'aplica pel que fa al treball amb el GeoGebra en la finestra algebraica i la finestra gràfica.
I ara passem, realment, a examinar molts exemples.
El tetràedre filcèntric de l'applet amb què hem introduït el concepte es presentava en el treball amb la figura següent, a la qual hem afegit noms per als vèrtexs:
El sabríeu dibuixar "exacte" amb el GeoGebra?
Actualment no és possible calcular geomètricament, amb el GeoGebra, el punt d'intersecció de tres esferes. Tanmateix, per a aquest càlcul, podem observar l'eficàcia del treball amb el CAS del GeoGebra.
És clar que no és cap restricció prendre "la base" en el pla XY. Agafem A(0,0,0), B(3,0,0), C(0,4,0).
Aplicant les distàncies que interessen per formular sengles equacions en les primeres files del CAS es poden obtenim dos possibles valor del vèrtex que busquem (simètrics respecte el pla XY, naturalment). Vegeu-ho:
En la línia 5 inicialment es calcula la solució del sistema format per les equacions e1, e2, e3
Però si fem que la solució de la línia 5 esdevingui activa quan es redacta aquest document (*) la linia 5 esdevé automàticament:
( (*) Funcionament amb la versió 5.0.263; sembla una mica anòmal i pot ser que canviï en versions posteriors)
Ja tenim una llista de punts! I tot seguit podem crear el punt D amb el comandament
D= Element[Llista1, 2].
Veureu que coincideix del tot amb el valor aproximat que se'n donava en el treball, allà calculat "a mà", que era D= (0, -0.5, 3.97).
I ara com ho farem per a determinar el punt que pot ser el filcentre?
Si ja teniu construït el tetràedre que compleix la condició de suma d'arestes oposades, per a determinar-lo teniu una macro a la vostra disposició en el conjunt de macros preparades per a aquest taller. Recordeu que les teniu en el fitxer .ggb Eines Tetràedre (Taller c2em) que teniu compartit. Ara seran útils l'eina PlaBisectorArestes i l'eina InterseccióTresPlans (que, alternativament, també podeu descarregar com a eines .ggt en aquest enllaç).
Quins tres plans podem fer servir?
Tenint en compte que l'eina PlaBisectorArestes està preparada per al seu ús en un tetràedre i demana primer el vèrtex i després els altres dos vèrtexs que determinen les arestes, tres plans bisectors d'arestes que es tallen segur en un punt són (per exemple): PlaBisectorArestes[A,B,C], PlaBisectorArestes[D,B,A] i PlaBisectorArestes[C,D,B]. Aquests tres plans es poden construir i es tallen en un punt en qualsevol tetràedre però no asseguren que el punt comú estigui a la mateixa distància de totes sis arestes. només de quatre. Ara bé, si existeix filcentre segur que ha de ser aquest punt.
Podeu obrir amb el GeoGebra (**) el fitxer compartit filcentre exemple 1 i allà teniu fets tots els càlculs que permeten determinar el filcentre d'aquest exemple, que té coordenades aproximades (1, 1, 1.134) i hi teniu dibuixada l'esfera tangent a les sis arestes.
(**) no s'incorpora el fitxer en aquest llibre perquè, si treballem amb la versió del programa incorporada per defecte en el repositori de materials, hi ha una anomalia de funcionament que no succeeix si treballem directament amb el GeoGebra.
És un bon moment per investigar si realment el punt obtingut és el centre d'una esfera tangent a les sis arestes,
- La primera investigació, naturalment, serà visual. Serà un bon moment per practicar amb l'eina que mostra en una finestra 2D cada cara del tetràedre i la seva intersecció amb l'esfera construïda. Vegeu-ho en el cas del "nostre" tetràedre.
- La constatació que realment l'esfera és tangent a les sis arestes es pot fer geomètricament si calculem les distàncies del filcentre a cada aresta i comprovem que són iguals. Ho teniu incorporat al fitxer compartit; són els nombres dist1, dist2, dist3, dist4, dist5, dist6.
- Una alternativa que en podríem dir "algebraica" seria construir una altra terna de plans bisectors d'arestes i comprovar que es tallen en el mateix punt que pensem que és el filcentre.
- ... i possiblement la persona que llegix aquest document pot tenir altres idees!
Això mateix s'aplica pel que fa al treball amb el GeoGebra en la finestra algebraica i la finestra gràfica.
I ara passem, realment, a examinar molts exemples.