Permutacije s ponavljanjem

Permutacije s ponavljanjem su permutacije u kojima se neki elementi ponavljaju.

Primjer 1.

Koliko se različitih riječi (smislenih i besmislenih) može napisati od slova riječi BABA? Rj. BABA ABBA BAAB ABAB BBAA AABB Moguće je napisati 6 riječi. Imamo 4 slova ( 2 slova A i 2 slova B). Kada su sva slova različita broj permutacija jednak je 4!=24. Međutim, zbog ponavljanja slova A broj permutacija umanjuje se 2!=2 puta, a isto toliko puta i zbog ponavljanja slova B. Uočimo:
Broj permutacija s ponavljanjem u skupu od n elemenata među kojima je jednakih elemenata: k jedne vrste, l druge vrste, m treće vrste jednak je

Primjer 2.

Na koliko se različitih načina mogu kuglice poslagati u niz ako imamo kuglice jednake veličine u različitim bojama: 4 crvene, 2 plave i 3 žute?
Image
Rj. Imamo ukupno 9 kuglica (4 crvene, 2 plave, 3 žute). Kuglice je moguće poredati u niz na načina.

Primjer 3.

Koliko se različitih osmeroznamenkastih brojeva može napisati pomoću znamenaka 11555999 tako da oni završavaju s 9? Rj. Brojevi su oblika _ _ _ _ _ _ _ 9 Od preostalih 7 brojeva (2 jedinice, 3 petice, 2 devetke) možemo napisati različitih brojeva.