Sección 2.1 - La potencia de un punto con respecto al círculo (Ejercicios)
Ejercicio 1
¿Cuál es (algebraicamente) el valor más pequeño posible que la potencia de un punto puede tener con respecto a un círculo dado radio ? ¿Cuál punto tiene esta potencia crítica?
Respuesta:
Si fijamos , encontes la expresión alcanza su mínimo cuando , o sea, el centro del círculo. Entonces su valor más pequeño sería
Ejercicio 2
¿Cuál es el conjunto de puntos, que al buscarle su potencia sea constante (mayor que ) con respecto a un círculo?
Respuesta:
Si , c constante, tenemos
y
¿Cuál es el lugar geométrico?
El conjunto es un círculo concéntrico.
Ejercicio 3
Si la potencia de un punto tiene el valor positivo , interprete la longitud de geométricamente.
Respuesta:
Sea , entonces . Tenemos que por el Teorema de Pitágoras, el radio , la distancia y la distancia forman un triángulo rectángulo con como su hipotenusa.
Ejercicio 4
Si y son tangentes de a 2 círculos concéntricos, con en el menor y el segmento encuentra el círculo largo en , entonces
Respuesta:
Sea el otro punto de intersección de con el círculo grande. Entonces tenemos:
Por lo tanto,
Ejercicio 5
El circunradio de un triángulo es al menos dos veces el inradio.
Respuesta:
Por el Teorema 2.12, sabemos que , donde es la distancia entre el circuncentro y el incentro. Dividiendo entre obtenemos . Luego obtenemos:
Ejercicio 6
Exprese (en términos de r y R) la potencia del incentro con respecto al circuncírculo.
Respuesta:
es el radio del círculo grande, es el incentro y es el centro del círculo grande.
Sea la distancia del incentro al punto .
Entonces la potencia con signo opuesto será: por Teorema, sabemos que , sustituyendo obtenemos:
.
La potencia será con su signo correspondiente.
Ejercicio #7
Pensando en segmentos dirigidos asumiendo , y colineales, podemos escribir el Teorema de Stewart en la siguiente forma simétrica: .
Respuesta:
Aplicamos el Teorema de Stewart en con ceviana obtenemos y tomando en consideración una dirección positiva hacia la izquierda para obtener:
Ejercicio 8
Una línea a través del centroide de interseca los lados del triángulo en los puntos , , . Usando el concepto de segmentos dirigidos, pruebe que
Respuesta:
Primero, trazamos paralelas que pasan por G y notamos por el Teorema de Tales y centroide que trisecan a .
Tenemos y los multiplicamos por , para obtener: (por configuraciones de Tales)
Notemos que por trisección. Ahora,
y como
Como y son iguales pero con dirección opuesta, ,
Ejercicio 9
¿Cuán lejos está el horizonte visto desde la cima de una montaña de una milla? Asuma que la tierra es una esfera con diámetro de 7920 millas.
Respuesta:
Podemos observar la tierra como un círculo con un radio de 3,960 millas, un punto a una distancia de 3,961 millas del centro, que representa la cima de la montañana, un punto de tangencia que representa el horizonte y el segmento , la tangente al círculo que representa la distancia entre el pico de la montaña y el horizonte. Por el Teorema 2.11, tenemos que . Por tanto,
.
El horizonte está a una distancia de 89 millas.