Das Babylonische Wurzelziehen für die Kubikwurzel
Mit diesem Verfahren kann die 3. Wurzel aus einer Zahl A näherungsweise bis auf beliebige Genauigkeit berechnet werden. Außerdem kann dieses Verfahren sehr schön geometrisch dargestellt werden.
Vorgangsweise
Die Grundidee der geometrischen Veranschaulichung liegt in der Problemstellung, dass für einen Würfel mit dem Volumen A die Länge der entsprechenden Seitenkante bestimmt werden soll.
Wir beginnen nun mit einem Quader mit quadratischer Grundfläche mit der Seitenlänge ; dies ist der Startwert des Näherungsverfahrens. Der Höhe des Quaders muss dann sein, damit das Volumen insgesamt dem Wert A entspricht (Abb. links).
Dieses Quader entspricht noch nicht einem Würfel, aber wenn wir jetzt den Mittelwert der drei Seitenkanten wählen, dann nähert sich das Quader mehr der Form eines Würfels an.
Dieser Mittelwert ist der neue Näherungswert x2, und damit berechnen wir die Höhe des nächsten Quaders (Abb. rechts). Auf diese Weise erhalten wir schrittweise eine immer bessere Näherung für die .
Die Iterationsformel ist daher als Mittelwert der drei Seitenkanten durch
mit Startwert x1 gegeben.
Aufgabe
Wähle einen geeigneten Startwert x1, indem du im Eingabefeld eine Zahl eingibst oder bewege den roten Punkt auf der x-Achse. Verändere mit dem Schieberegler für n die Anzahl der durchgeführten Iterationsschritte.
Die Iterationsformel für die 3. Wurzel kann auch aus dem Newton'schen Näherungsverfahren hergeleitet werden
Das Newton'sche Näherungsverfahren ist ein sehr effizientes Verfahren zur Berechnung von Nullstellen einer differenzierbaren Funktion f.
Die Iterationsformel lautet .
Wir wählen nun für das Babylonische Wurzelziehen die Funktion f mit .
Die Ableitung ist dann .
Damit ergibt sich für die Iterationsformel