Berechnen von Mengen
Vektoren für Rohstoffe, Zwischenprodukte und Endprodukte
In den voran gehenden Kapiteln haben wir drei Matrizen kennengelernt:
- Die Matrix (wie viel Rohstoffe pro Zwischenprodukt)
- Die Matrix B (Wie viel Zwischenprodukte pro Endprodukt)
- Die Matrix C (Wie viel Rohstoffe pro Endprodukt)
- Wie viel Rohstoffe brauche ich für die Produktion einer gegebenen Menge Zwischenprodukte?
- Wie viel Zwischenprodukte brauche ich für die Produktion einer gegebenen Menge Endprodukte?
- Wie viel Rohstoffe brauche ich für die Produktion einer gegebenen Menge Endprodukte?
Umstellen der Matrizengleichungen mit inversen Matrizen
Ist die Menge der Rohstoffe gegeben, dann kann in einigen Fällen auch berechnet werden, wie viel Zwischenprodukte daraus zu produzieren sind. Dazu muss die Gleichung nach umgestellt werden. Das gelingt genau dann, wenn die Matrix eine inverse Matrix besitzt:
Also gilt
und genau so erhält man auch die Gleichungen
und
Vorausgesetzt, die inversen Matrizen existieren, denn das ist oft nicht der Fall. Weil eine inverse Matrix nur von einer quadratischen Matrix gebildet werden kann, kann die Matrix nur dann eine inverse Matrix haben, wenn es genau so viel Rohstoffe wie Zwischenprodukte gibt. Denn nur dann ist die Matrix eine quadratische Matrix. Und das ist sicherlich nicht so häufig der Fall.
Genau so kann man die Matrix nur invertieren, wenn es genau so viel Zwischenprodukte wie Endprodukte gibt.