Beispielbeweis zu (ii)
ACHTUNG: Beweise nötig!
Du hast bereits die ersten zwei Rechenregeln für Grenzwerte mit den Applets erkundet. Wahrscheinlich hast du die Regeln auch bestätigt gesehen. Doch bevor man in der Mathematik Regeln allgemein gültig verwendet, müssen sie bewiesen sein.
Alle vier Regeln werden nach dem Prinzip bewiesen, dass ab einem bestimmten alle weiteren Werte der Folge nur noch in einer Entfernung von maximal um den Grenzwert herum liegen (Epsillon-Schlauch).
Im folgenden wirst du den Beweis zu (ii) gezeigt bekommen (und kannst anschließend selber (i) beweisen, wenn du Zeit dafür hast).
Du solltest diesen Abschnitt sorgfältig lesen, denn Beweise sind in der Hochschulmathematik sehr wichtig!
Rechenregeln für Grenzwerte
Gegeben seien konvergente Folgen mit Grenzwert und mit Grenzwert . Dann gelten folgende Aussagen:
(i) Für jede Konstante ist die Folge konvergent und es gilt .
(ii) Die Folge ist konvergent und es gilt .
(iii) Die Folge ist konvergent und es gilt .
(iv) Falls alle sind sowie ist, so ist die Folge konvergent und es gilt .
Beispielbeweis zu (ii)
Es sei ein beliebiges aber festes vorgegeben.
Zu zeigen ist, dass ein existiert für das für alle gilt.
Es ist (*)
Da die einzelnen Folgen und konvergent sind, existieren und , sodass
für alle und für alle gilt.
Wir wählen nun und als das Maximum von und .
Dann gilt . q.e.d.
Nach Definition gilt .
Frage zum Beweis von (ii)
Was passiert im Schritt (*) ?
