外心と内心を結んだ線と直極点楕円
Wが「直極点楕円」をつくる直線の中心。Ｗを内心と外心を結んだ線上に置いてみる。Wを動かして「直極点楕円」の変化を見てみよう。フォイエルバッハ点で不動である。フォイエルバッハ点とは九点円と内接円の接点のこと。とすると、直線で不動な点が見つかるのではないか。
不動点があるわけ
最初不思議に思ったけど、よく考えてみれば当たり前。
まず、外心を通る線だから、外心の時は九点円となる。
この時、点Ｗの直極点はＷを通る直線だから、
ちょうど「外心と内心を通る直線」と同じ方向の直線がある。
その直極点は九点円の時と変わらないので不動点となる。
ここで不思議なのは「外心と内心を結んだ直線」の直極点がフォイエルバッハ点となることだ。
垂足円と内接円と「直極点楕円」Dは「直極点楕円」の中心。Dから垂線をひいて垂足円をつくるとＩで内接円になる。直極点楕円と垂足円が辺で一致するのは直極点の作図からわかる。
不動点がフォイエルバッハ点であることの説明
Ｄの垂足円とＤの「直極点楕円」は不動点を持つ。
Ｄを外心Ｏにもっていくと垂足円は九点円になる。
Ｄを内心Ｉにもっていくと垂足円は内接円になる。
外接円と内接円の共通な点はフォイエルバッハ点だけ。
よって、この不動点はフォイエルバッハ点である。