Área de Polígonos Regulaes

A área dos polígonos regulares podem ser determinadas em função do número de lados e seu comprimento em relação a medida da apótema de cada polígono regular a ser analisado, no entanto, se escrevermos a medida da apótema em função da medida do lado e a tangente do ângulo associado, metade do ângulo central, é possível obter a medida da área de qualquer polígono regular sabendo apenas o número de lados e seu comprimento. Em outras palavras, podemos calcular a área de qualquer polígono regular através da expressão:

Experimente a implementação modificando o número de lados n e na sequência ao modificar o comprimento do lado, l, do polígono regular.

Nesta aplicação podemos observar a relação entre a medida dos lados dos polígonos regulares e a medida do ângulo central quando calculamos sua área em função do número de lados e da medida do ângulo central da circunferência circunscrita no polígono regular.

1. Clique em Controle Deslizante e na janela de visualização, nomeie o controle de n com valores no intervalo de 3 a 30 e incremento 1;
2. Com o Controle Deslizante, construa o controle l no intervalo de 1 a 3 e incremento 0.5;
3. Clique em Segmento com Comprimento Fixo e clique na janela de visualização, defina comprimento para l;
4. Clique em Polígono Regular, na sequência nos pontos deste segmento. Defina o número de vértices para n;
5. Clique em Círculo definido por Três Pontos, e selecione os vértices do polígono regular, para construir a circunferência que circunscreve o polígono;
6. Selecione a ferramenta Ponto Médio ou Centro e clique sobre o círculo para marcar seu centro;
7. Trace a reta Mediatriz clicando sobre um dos lados do polígono;
8. Marque o Segmento chamado de apótema, para isso clique sobre o centro do círculo e o ponto de intersecção da mediatriz com o lado do polígono e renomeio de ap;
9. Oculte a reta mediatriz clicando sobre ela com a ferramenta Exibir/Esconder Objeto selecionada, ou clique com o botão direito do mouse e desmarque a opção de exibição do objeto;
10. Clique em Texto e digite na caixa de texto a expressão: A_{pol}=\frac{n\cdot l\cdot a_p}{2}, configurado com fonte Serif e Fórmula LaTeX;
11. Em outra caixa de Texto digite novamente a expressão anterior, substituindo os valores de n, l e a_p pelos respectivos valores armazenados no GeoGebra, para isso clique em avançado e depois na logo do aplicativo localize estes termos;
12. No Campo de Entrada digite Area = (n*l*a_p)/(2) para retornar o valor da área;
13. Na caixa de Texto digite A_{pol} = Area, substituindo Area pelo termo correspondente na logo do GeoGebra;

Para determinar a área do polígono regular inscrito na circunferência utilizamos a expressão a seguir, obtida da área anterior ao substituir a medida do apótema em função da metade do ângulo central do polígono regular de n lados. Lembrete:  e  . Logo,

1. Construa o triângulo utilizando um dos vértices do polígono, o centro da circunferência e o lado da apótema, desabilite o rótulo dos lados deste triângulo e define com uma cor distinta do polígono regular, tipo azul, por exemplo;
2. Marque o ângulo alpha com vértice no centro da circunferência e interno ao triângulo anterior;
3. Digite na caixa de Texto a expressão A_{pol}=\frac{n\cdot l^2}{4tg(\frac{180°}{n})} com formatação em Serif e LaTeX;
4. Em outra caixa de Texto digite a expressão do item anterior, substituindo as variáveis n, l por seus correspondentes do GeoGebra;
5. Na próxima caixa de Texto adicione a expressão anterior substituindo o ângulo da tangente pela medida de alpha, como segue: A_{pol}=\frac{n\cdot l^2}{4tg(alpha)};
6. Na sequência digite no Campo de Entrada a expressão Areatg = (n*l^2)/(4 tg(180°/n));
7. Para finalizar adicione a caixa de Texto para exibir o resultado da área digitando a expressão A_{pol}= Areatg, onde o termo Areatg é selecionado em Avançado – GeoGebra.