3. Construir “con regla y compás”
Una propuesta didáctica con un enfoque diferente a los anteriores consiste en construir un rosetón, dejando de lado la cuestión métrica, a partir de una circunferencia dada (la exterior), mediante las herramientas que los programas de GD facilitan. Aunque éstas sean muchas más que las clásicas de la regla y el compás, el problema puede ser casi equivalente.
En el caso que nos ocupa una posible solución pasa por aprovechar el hecho de que cualquiera de las circunferencias tangentes interiores es la circunferencia inscrita en el triángulo determinado por el centro y dos vértices consecutivos del polígono regular circunscrito a la circunferencia dada.
En el caso del rosetón de 4 pétalos resulta bastante sencillo construir un cuadrado circunscrito a la circunferencia dada, tal como puede observarse en la figura siguiente:
Una vez conseguido el cuadrado circunscrito (en realidad es suficiente con uno de sus vértices) se trata de determinar el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo citado, esto es su incentro, como corte de dos de sus bisectrices: la que coincide con el diámetro de la circunferencia dada y la correspondiente al primer nuevo vértice encontrado.
En el siguiente applet puede apreciarse la construcción de nuevo “con regla y compás” de un rosetón de 3 pétalos, a partir de la circunferencia exterior.
Los programas de GD permiten dibujar cómodamente traslaciones, simetrías y rotaciones.
Gracias a ello, una vez construido el primer lóbulo del rosetón, se pueden evitar repeticiones tediosas, de paso que se pone de relieve la simetría rotacional de los rosetones, como puede observarse en la siguiente figura.
La misma herramienta de Rotación nos facilitará la posibilidad de generalizar este método para conseguir polígonos regulares exteriores de cualquier número de lados y no solamente los gaussianos, es decir los construibles con solo regla y compás.
Puede comprobarse modificando el valor de n en la siguiente construcción.
Un último método diferente es el utilizado en la siguiente figura en la que se utilizan dos vértices consecutivos del polígono regular inscrito. Con ella cerramos este artículo dedicado a los rosetones.
En conclusión, hemos tratado de mostrar ejemplos de actividades, con los rosetones como tema central, abordables con GeoGebra u otro programa de GD desde tres enfoques diferentes:
- Construcciones en las que se reproducen figuras que conllevan el manejo de elementos geométricos diversos que luego pueden ser medidos.
- Dibujos que son útiles para la comprensión y posterior resolución de problemas con contenido geométrico.
- Construcciones “con regla y compás” que requieren del aprovechamiento de propiedades geométricas significativas.