１３。三角方程式・不等式
１.三角方程式の見える化
＜sinA=a＞
・単位円とｙ軸に垂直な直線ｙ＝aの交点で、特殊解の個数は０，１，２。
解が1個の場合はa=1または−１のときに限る。
解が2個の場合はaの絶対値が１未満で、A=p，πーpでｙ軸対称。
・関数グラフの場合
横軸が弧度ｘとなる。ｙ＝sinAとｙ軸に垂直な直線ｙ＝aの交点のｘ座標が解になる。
（例）「ｘが2π未満の非負の実数のとき、2sin²ｘー√2sinx=0の解ｘ」は？
sinx(sinx-√2/2)=0から、sinx=0または√2/2となり、x=0,π,1/4π,3/4π。
＜cosA=b＞
・単位円とｘ軸に垂直な直線ｘ＝bの交点で、特殊解の個数は０，１，２。
解が1個の場合はb=1または−１のときに限る。
解が2個の場合はbの絶対値が１未満で、A＝p，ーp（２πーp）でｘ軸対称。
・関数グラフの場合
横軸が弧度ｘとなる。ｙ＝cosAとｙ軸に垂直な直線ｙ＝bの交点のｘ座標が解になる。
（例）「ｘが2π未満の非負の実数のとき、cos²ｘー1/2cosx=0の解ｘ」は？
cosx(cosx-1/2)=0から、cosx=0または1/2となり、x=1/2π,3/2π,1/3π,5/3π。
（例）「ｘが2π未満の非負の実数のとき、cos2ｘ+cosx=0の解ｘ」は？
2倍角公式cos2x=2cos2x-1から、2cos2x+cosx-1=(2cosx-1)(cosx+1)=0 cosx=-1,1/2
x=1/3π,π,5/3π。
＜tanA=c＞
・単位円と原点を通る直線ｙ＝ｃｘの交点で、特殊解の個数は２個。
解はA＝p，p＋π
・関数グラフの場合
横軸が弧度ｘとなる。ｙ＝tanAとｙ軸に垂直な直線ｙ＝cの交点のｘ座標が解になる。
（例）「ｘが2π未満の非負の実数のとき、tan²ｘー1=0の解ｘ」は？
tanx=1,-1から、x=1/4π,3/4π,5/4π,7/4π。
２．三角不等式の解法
基本は等式を満たす解の弧度を求めること。
単位円などをかいて、範囲を明確にとらえる。
(例）「ｘが2π未満の非負の実数のとき、sinxの絶対値が1/2以下のｘの範囲」は？
sinx=1/2になるｘ＝1/6π,5/6π。この２解の間（範囲１）ではsinx>1/2
sinx=-1/2になるx=7/6π,11/6π。この２解の間（範囲２）ではsinx<-1/2
したがって、０以上2π未満から範囲１，２を除く。
0以上1/6π以下、5/6π以上7/6π以下、11/6π以上2π未満。
(例）「ｘが2π未満の非負の実数のとき、cos2x+sinxが非負のｘの範囲」は？
2倍角公式cos2x=1-2sin2xから、
-2sin2x+sinx+1=-(2sin2x-sinx-1)=-(2sinx+1)(sinx-1)が非負 sinxは-1/2以上1以下。
sinx=-1/2がx=7/6π、11/6πのときで、1以下は常だから、
0以上7/6π以下、11/6π以上2π未満。
３．三角方程式と変数
＜解と解の対応＞
三角方程式f(x)=aでg(x)=sinx=tなどをｔとおきf(x)=h(t)=yとする。
y=h(t)とy=aの交点の個数の変化を調べる場合、
t軸からｙの変化を調べるのではなく、逆関数のようにｙ軸の値を基準にして調べる。
交点があれば、解のｔ座標をg(x)=tに入れて、さらにｘの個数を調べる。
（例）「(xは2π未満の非負）が異なる４個の解をもつaの範囲」は？
g(x)=sinx=tとおくと、f(x)=2t2+4t+3(1-2t2)=-4t2+4t+3=-4(t-1/2)2+4＝h(t)とおく。
gの値域の絶対値は１以下。hの軸は変域内で正による。
h(-1)=-4-4+3=-5 からhは増加し、h(1/2)=4で最大、そこからh(1)=-4+4+3=3まで減る。
y=h(t)のグラフとy=aの交点の調べる。
y=h(t)をｔ軸ではなくて、ｙ軸からみる。
・y<-5では、交点なし。
・y=-5のとき交点があり、t=-1のときだからsinx=-1の解は1個。
・y=3のときt=1に限らず、グラフの対称性からt=1/2×2-1=0でもh(0)=3となる。
t=1=sinxの解は１個、t=0=sinxの解は２個、合計で３個ある。
・その手前のｙが-５と３の間ではtは-1と０の間で変化。ｔ=1,-1以外ではt＝sinxの解は２個。
・y=4のとき交点があり、t=1/2に限る。sinx=1/2の解は２個。
・その手間のｙが３と４の間では、tは0と1/2の間、1/2と１の間の２点で交わる。
しかも、それぞれのtの絶対値は1未満だから、t=sinxが２個ずつ解がある。合計２×２＝４個の解がある。
aは３と４の間。