Superficies cíclicas
Superficies cíclicas con la línea de centros en una circunferencia
Un toro se genera como superficie de revolución, haciendo girar, alrededor de un eje, una circunferencia que está separada de él una distancia mayor que su radio.
Denominamos superficie cíclica, a las generadas por una familia de circunferencias cuyos centros están situados sobre una curva, y las circunferencias yacen en el plano perpendicular a la curva en el punto.
En el caso del toro, las circunferencias se desplazan alrededor de otra circunferencia, y el radio es constante.
Tomando el radio de esas circunferencias variable, obtenemos toda una familia de superficies cíclicas formadas por circunferencias de radio variable cuya línea de centros es, a su vez, una circunferencia.
Para dar las ecuaciones, partiremos de la ecuaciones del toro, con centros separados una distancia d del eje z, pero tomando un radio r(u) variable.
Una modelización de estas superficies cíclicas en ecuaciones paramétricas cartesianas sería
- Los factores cos(u) y sen(u) que aparecen en las expresiones para x e y, son los utilizados para girar alrededor del eje z.
- Mientras giramos, construimos las circunferencias de radio r(u) correspondientes a cada ángulo girado u, usando la componente z. Para ello, incluimos el factor r(u)·sen(v) en esa componente z.
- Podemos hacer que los radios ondulen n veces entre dos valores, conforme giramos alrededor del eje, con una función del tipo donde p se interpreta como un porcentaje. Ajustando , oscilarán entre los números . (*) Podemos generalizar admitiendo negativos, lo cual hará que sea superior al 100% y aparecezcan unos bucles extra de radio precisamente ese exceso sobre el 100%.
Superficies cíclicas con línea de centros en una circunferencia
Instrucciones
- Seleccionar "Opciones" para modificar la superficie. También se mostrará el eje de giro.
- Moviendo los puntos azules, podemos modificar el radio de la circunferencia de centros, el radio máximo y el radio mínimo.
- Podemos establecer el número de bucles que harán las circunferencias. Se admiten números decimales. Por ejemplo, 1.5.
- Hemos denominado "cinturones" a las circunferencias de radio máximo y mínimo de la superficie cíclica.
Línea de centros helicoidal
Podemos modificar la construcción anterior para que la línea de centros sea una hélice circular, de cierto paso , entre cada vuelta. Las circunferencias se construirán de forma similar al caso anterior, pero teniendo en cuenta que, en cada punto, deben estar en el plano perpendicular a la hélice.
Las ecuaciones de la hélice serán
Derivando, obtenemos que un vector tangente es , cuyo módulo es .
Podemos ampliar a una base ortogonal del plano tangente, tomando los vectores
(*) Para más información sobre cómo construir una hélice tubular, consultar este applet.
El módulo de resulta .
Por tanto, la ecuación de las circunferencias vendrá dada por
, para .
que, finalmente, en coordenadas resulta: Podemos transformar la parametrización de las circunferencias para que u, v resulten coordenadas ortogonales. En este caso, puede comprobarse que bastaría tomar u'=-u, v'=v+cu/s.Superficies cíclicas helicoidales
- Moviendo los puntos azules, podemos modificar el radio de la circunferencia de centros, el radio máximo y el radio mínimo.
- El punto rojo permite establecer el paso entre una vuelta y otra.
- El punto naranja sirve para desplazar la figura verticalmente.
- Podemos establecer el número de bucles que harán las circunferencias. Se admiten números decimales. Por ejemplo, 2.5.
- Hemos denominado "cinturones" a las circunferencias de radio máximo y mínimo de la superficie cíclica.
(*) Construcciones adaptadas de S.N. Krivoshapko y V.N. Ivanov. Encyclopedia of analytical surfaces (pág 376-378). Springer International Publishing Switzerland, 2015.