Füllgefäß (mittlere/momentane Änderungsrate)
Nach dem "Weizenbierglas"-Experiment könnt ihr hier den konstanten Zufluss in einen Vase simulieren.
Betrachte die abgebildete Vase, in die ebenfalls gleichmäßig Wasser eingelassen wird. Die Tabelle stellt dar, wie sich die Wasserhöhe (hier gemessen vom Tischboden) in der Vase beim Einfüllvorgang im Zeitverlauf verändert.
Es wird alle drei Sekunden die Höhe des Wasserstandes gemessen.
| Zeit (Sekunden) | Höhe (cm) |
| 0 | 0.51 |
| 3 | 1.33 |
| 6 | 2.74 |
| 9 | 4.91 |
| 12 | 8.00 |
| 15 | 12.17 |
| 18 | 17.58 |
Mittlere Änderungsrate
Die mittlere Änderungsrate gibt an, wie viel Zentimeter pro Sekunde die Wasserhöhe in einem Zeitabschnitt im Schnitt zunimmt.
Beispiel:
In den drei Sekunden zwischen Sekunde 6 und 9 steigt das Wasser um 4,91 cm - 2,74 cm = 2,17 cm. Daher nimmt das Wasser pro Sekunde um 2,17 cm : 3 s = 0,72 cm/s zu.
Die mittlere Änderungsrate im Zeitabschnitt von Sekunde 6 und Sekunde 9 beträgt daher 0,72 cm pro Sekunde (abgekürzte Schreibweise: 0,72 cm/s)
Aufgabe 1
Berechnet anhand der obigen tabelle und mit dem Taschenrechner die mittlere Änderungsrate in den angegebenen Zeitabschnitten:
- a) in de ersten drei Sekunden
- b) zwischen Sekunde 3 und 6
- c) zwischen Sekunde 12 und 15
- d) zwischen Sekunde 3 und 12
- e) in den ersten 18 Sekunden
Momentane Änderungsrate
Möchtet ihr nun für einen Zeitpunkt (z.B. an Sekunde 12) eine Änderungsrate bestimmen, so spricht man von der momentanen Änderungsrate. Wie man die momentane Änderungsrate näherungsweise bestimmt, erschließt ihr euch in der nächsten Aufgabe.
Aufgabe 2
Um näherungsweise die momentane Änderungsrate für den Zeitpunkt Sekunden zu erhalten, bestimmt ihr mit Hilfe der Schieberegler des Applets und mit Hilfe des Taschenrechners die mittlere Änderungsrate in den Zeitintervallen von:
- a) und
- b) und
- c) und
- d) und
Wenn der Wasserstand als Funktion der Zeit mit einer Funktionsvorschrift gegeben ist, kann man die mittleren Änderungsraten auch rechnerisch bestimmen.
Aufgabe 3
Die Höhe des Wasserstandes der bisher betrachteten Vase kann mit der Funktion
beschrieben werden. Hierbei gibt die Höhe des Wasserstandes in cm zu einem Zeitpunkt in Sekunden an.
- a) Bestimmt den Näherungswert für die momentane Änderungsrate noch genauer, indem ihr mit Hilfe der Funktionsvorschrift die mittlere Änderungsrate im Zeitabschnitt von Sekunde 12 bis 12.001 bestimmt.
- b) Beschreibt in eigenen Worten, wie ihr vorgehen müsst, um einen möglichst exakten Wert für die momentane Änderungsrate bei Sekunde 12 zu erhalten.