7 Kreise seven circles theorem
6 Kreise berühren einen 7. Kreis und je 2 Nachbarkreise
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Möbius-Werkzeuge circle-tools (April 2019)
Diesen Satz findet man öfters unter den ge
gebra-Materialien:
Michael Borcherds seven Circles Theorem
Zitat: "Six circles are placed around the seventh. The three segments
(joining opposite points where circles touch) are concurrent."
Oder: sonom, Michael Borcherds https://www.geogebra.org/m/EZGY4mrp
Auch auf mathworld.wolfram findet man Bilder zu diesem Satz: http://mathworld.wolfram.com/SevenCirclesTheorem.html
Eigentlich handelt es sich um einen Satz über Kreise! Dass die Geraden durch diagonale Berührpunkte konkurrent sind, ist eine Folge davon, dass Geraden Kreise sind, die durch den gemeinsamen Punkt gehen!
Es gilt nämlich:
Verbindet man irgendeinen Punkt P der Ebene mit den diagonalen Berührpunkten durch je einen Kreis, so gehen diese 3 Kreise durch einen gemeinsamen 2. Punkt: sie liegen in einem Kreis-Büschel!
Warum?
Die 7-Kreise-Figur läßt sich allein mit Kreis-Werkzeugen konstruieren.
Man beginne mit 2 sich in einem Punkt BP1 berührenden Kreisen k0 und k1. Auf k0 wähle man 4 weitere Punkte BP2 ... BP5.
Mit Hilfe der Symmetriekreise für sich berührende Kreise konstruiert man die Nachbarkreise k2 und k3, und zu diesen wieder die Nachbarkreise k4 und k5.
Der fehlende 6.te Berührkreis k6 muss symmetrisch zu k4 und k5 liegen: da k4 und k5 den gemeinsamen Berührkreis k0 besitzen, muss ein Symmetriekreis von k4 und k5 orthogonal zu k0 sein. Damit findet man den 6. Berührpunkt BP6 und den 6. Berührkreis k6.
Verwendet wurden nur Kreis-Spiegelungen. Das 7 - Kreise - Theorem ist also eine Aussage über Kreisbeziehungen und daher ein möbius-geometrischer Sachverhalt, der "zufälliger Weise" auch einen euklidischen Sachverhalt beschreibt!
"Zufällig" meint: wählt man als Punkt P den besonderen Punkt , so sind die Diagonalen sich schneidende Geraden!
Ein anderes Argument: Unter Möbiustransformationen gehen sich berührende Kreise in ebensolche über!
Eine 7 - Kreise - Figur wird daher durch Möbiustransformationen auf ebensolche Figuren abgebildet!