Die Lage von 4 Punkten, komplex berechnet

Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Möbius-Werkzeuge circle-tools (April 2019)

Im Applet oben werden die 6 Grundpunkte für die 3 orthogonalen Kreise mit komplexer Vektorrechnung in CAS berechnet: benötigt werden nur komplexe Vektoren, das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt , die in CAS auch für komplexe Vektoren greifen, und das Lösen von komplexen quadratischen Gleichungen. Alle Rechnungen wurden mit durchgeführt. verlangsamt extrem! Die vorgegebenen (komplexen) Punkte liegen paarweise harmonisch zu den Schnittpunkten der orthogonalen Kreise. Wie wird hier gerechnet? Vorgegeben sind 4 verschiedene Punkte . Stereographisch auf die Einheitskugel projiziert, entsprechen den 4 Punkten in der Ebene 4 Punkte auf der Kugel. Mit Hilfe des auf der vorigen book-Seite erklärten Euklidischen Koordinatensystems im Geradenraum kann man mit den Tangenten der Kugelpunkte und den Verbindungsgeraden rechnen! Die Abbildung bildet die 4 Punkte der Ebene auf die Berührgeradenvektoren im komplexen Geradenraum ab. Man kann diese Vektoren als Tangentialvektoren an die Kugel in den zugehörigen Punkten deuten, Multiplikation mit einer komplexen Zahl bedeutet die Drehstreckung des Vektors um . Das komplexe Kreuzprodukt berechnet einen komplexen Vektor , zu dem bei geeigneter Normierung zwei Geraden gehören: die Verbingungsgerade der beiden Kugelpunkte und deren polare Gerade . Das Kreuzprodukt berechnet wieder eine Schnittgerade, wegen trennen die Schnittpunkte von mit der Kugel die Punktepaare harmonisch. Diese Schnittpunkte, bzw. die zugehörigen Punkte in findet man als Lösungen der komplexen quadratischen Gleichung , z.B. . Da nach den Regeln des Kreuzprodukts gilt: , sind die 6 Punkte Schnittpunkte von 3 paarweise orthogonalen Kreisen. Leider ist die "Definition" im gegebra-CAS als komplexwertige Vektorfunktion