Ángulos y polígonos en las alas de una libélula

¿Cómo es el ala de una libélula?

Las alas de las libélulas utilizan las matemáticas formando patrones poligonales con sus "nervios" para conseguir múltiples beneficios:

Distribuir las fuerza: los polígonos ayudan a distribuir uniformemente fuerza como la presión del aire al volar.
Rigidez y flexibilidad: las alas necesitan un soporte lo suficientemente rígido para soportar el vuelo, pero también lo suficientemente flexible para adaptarse a los movimientos rápidos.
Poco peso: las estructuras poligonales son ligeras pero fuertes. Esto ayuda a no necesitar demasiada energía para volar.
Redundancia estructural: si una zona de un ala se daña, los patrones poligonales ayudan a limitar su propagación, permitiendo que la libélula siga volando.

Si nos fijamos en la fotografía del applet de más abajo, observamos que hay unos "nervios principales" a partir de los cuales se ramifican otros secundarios. Generalmente, estos nervios son segmentos rectos que, en muchos casos parecen salir en ángulo recto a partir de esos nervios principales. Pero

¿habrá otros ángulos que también se usen frecuentemente?
¿qué tipo de polígonos se utilizan más?

Vamos a interactuar con este applet que nos permite investigar diferentes ángulos y polígonos.

Instrucciones

Podemos hacer zoom en la imagen con la rueda del ratón (o dos dedos en dispositivos táctiles). También podemos moverla arrastrando con el ratón. Así podemos enfocar mejor la zona donde queramos estudiar los ángulos.
Marcando las casillas "Medidor (1, 2 y 3)", "Pentágono" o "Hexágono" mostraremos las correspondientes figuras.
Por comodidad, los medidores están restringidos a ciertos ángulos (ver más abajo cómo se han seleccionado). Se indica de qué tipo de figura podría provenir el ángulo, y su medida.
Además, clicando en esa medida mostramos/ocultamos la pequeña marca de ángulo mostrada en el dibujo.

Para modificar las figuras, primero clicar en ellas para mostrar/ocultar sus vértices, que podremos mover. En el caso de los polígonos, como los ángulos también están restringidos, es aconsejable posicionar primero los puntos de color morado. Podemos desplazarlos moviendo el lado marcado con un color algo más oscuro.

¿Qué polígonos suelen aparecer? ¿y qué ángulos?

Si nos fijamos, da la sensación de que los polígonos que más aparecen son

cuadriláteros
pentágonos
hexágonos

Por ello, una primera hipótesis podría ser que los ángulos que aparecen sean los ángulos correspondientes a las figuras regulares y sus suplementarios:

cuadrado (90º), pentágono regular (108º y 72º), hexágono (120º y 60º).
Notar que el caso de 60º aparece en el triángulo equilátero y el de 72º es el ángulo central del pentágono regular.

Además, en esta pequeña lista podemos incluir el ángulo áureo (137.5º), que es conocido que aparece con mucha frecuencia en la naturaleza. Como en los vértices, todos los ángulos que se forman deben sumar los 360º de la circunferencia, quizás deberíamos añadir también alguno de los conjugados de los anteriores (o de suma de varios de ellos). También, en el caso del ángulo áureo, nos fijamos en que varios de los pentágonos, sobretodo los que se forman cerca de los nervios principales, da la sensación de que hubiesen formado a partir de un rectángulo al cual le hubiésemos creado un nuevo vértice en uno de los lados, que le permite encajar mejor con otro obtenido de manera similar en otro de los nervios. Y precisamente en esos casos, de formación de venas secundarias, parece que el ángulo formado es el áureo. Las consideraciones anteriores junto con la suma de ángulos de un polígono nos lleva a tener que incluir en la lista la mitad del ángulo del conjugado de un áureo (111.2º). En este enlace podemos ver un artículo donde unos estudiantes exponen sus conclusiones sobre mediciones de ángulos hechas en una gran muestra de alas de libélula.

Nuestro turno

Podemos aprovechar la imagen, o quizás otra si encontramos alguna, para buscar diferentes tipos de polígonos en el ala de esta libélula. Podemos hacer una primera búsqueda usando el applet con la foto. Después, cuando nos hayamos familiarizado con estas búsquedas, podemos imprimir esta u otra foto (ver más abajo) a tamaño grande y hacer las búsquedas utilizando un rotulador y el transportador de ángulos.

Respecto los polígonos,
- A simple vista, ¿cuáles son los más abundantes?
- Vamos a localizar tres de cada tipo: cuadrilátero, pentágono, hexágono.
- También, buscaremos alguno con más lados. ¿Qué nombre recibe?
Y los ángulos,
- ¿es posible decir a simple vista qué medidas de ángulos son más frecuentes?
- Buscaremos varios ejemplos de ángulos de los principales ángulos que hemos nombrado: 90º, 108º, 120º y 137.5º. Como siempre que medimos "manualmente", admitiremos alguna pequeña desviación respecto esas medidas.
- Por supuesto, ya sabemos que pueden aparecer otros más, como los correspondientes conjugados y suplementarios. Pero, ¿se dará mucho el caso de los 4 ángulos anteriores?

Hay demasiados ángulos y polígonos ¿qué hacemos?

En la propuesta anterior podemos encontrar la pequeña dificultad de que hay demasiados polígonos y ángulos como para estudiarlos todos. Pero podemos resolverlo de dos maneras:

Dividimos la fotografía en varias zonas que repartimos entre diferentes grupos de la clase. Una vez terminado el trabajo, hacemos una puesta en común de los resultados.
Nos limitamos a pequeñas muestras de zonas al azar de nuestra fotografía y hacemos la suposición de que en las zonas no analizadas ocurrirá algo similar a las que hayamos elegido.

Por último, resumiremos todo el proceso seguido y las conclusiones obtenidas para añadirlo a nuestro porfolio de clase.

Imagen utilizada

Observaciones. ¿Se corresponde con Voronoi?

En situaciones como esta, también es habitual preguntarse si podríamos haber modelizado la distribución en polígonos de esta ala mediante diagramas de Voronoi, de forma similar a como en esta actividad se hace con el caparazón de una tortuga. Sin embargo, haciendo algunas pruebas y buscando posibles centros para el diagrama, llegamos rápido a la conclusión de que no se hace un buen ajuste. Esto puede deberse a que la generación de los polígonos no se hace exactamente a partir de unos centros desde el cual crece el ala (como en el caparazón) sino que se hace a partir de unos nervios principales. Para más información sobre la formación de las alas, podemos consultar este enlace.