Minimalkostenkombination berechnen
Der mathematische Ansatz
Im vorhergehenden Kapitel haben wir gesehen, was eine Minimalkostenkombination zweier Produktionsfaktoren ist und wie wir diese graphisch mit Hilfe der Isoquanten und einer Isokostenfunktion finden können.
Dabei kam heraus, dass die Kosten genau dann minimal sind, wenn sich die Funktionsgraphen der Isoquanten und der Isokostenfunktion nur noch in einem Punkt berühren.
Berechnen eines Berührpunktes
Zwei Funktionen und berühren sich in einem Punkt , wenn
- dieser Punkt Teil der Funktionsgraphen beider Funktonen ist, also und
- die Funktionsgraphen an dieser Stelle die gleiche Steigung haben, also
Berechnen der Minimalkostenkombination
Für unsere Minimalkostenkombination muss also die Steigung der Isoquanten gleich der Steigung der Isokostenfunktion sein:
Wenn diese Gleichung nach aufgelöst wird, dann erhält man den Berührpunkt von Isoquante und Isokostenfunktion. Gehen wir nun schrittweise vor:
Die Ableitung der Isoquanten ist:
Die Isokostenfunktion ist eine lineare Funktion, daher kann man hier die Ableitung - also die Steigung - direkt ablesen:
Für die -Koordinate der Minimalkostenmobination gilt also:
und damit auch
Achtung: Verwechseln Sie das kleine der Isoquante bitte nicht mit den Kosten, die als großes geschrieben werden!
Umstellen der Gleichung nach führt zu
Sie erhalten die -Koordinate , indem Sie die -Koordinate in die Isoquante oder in die Isokostenfunktion einsetzen, also .
Wie stellt man die Gleichung nach um?
Wie hoch sind nun die minimalem Kosten?
Mit unsren Bemühungen oben haben wir die Minimalkostenkombination berechnet.
Die Kosten zu dieser Kombination erhalten wir nun mit der Gleichung:
Aufgabe
Berechnen Sie die Minimalkostenkombination und die minimalen Kosten zu der Isoquanten , wenn die Preise für die Produktionsfaktoren und betragen
Unendlich viele Aufgaben
Im folgenden Applet sind jeweils eine Isoquantenfunktion und die Preise und der Produktionsfaktoren und gegeben. Berechnen Sie dazu
- die Minimal-Kosten-Kombination
- die minimalem Kosten