Vetor gradiente
Definição
Dada uma função escalar de variáveis reais,
,
se possui todas as derivadas parciais de primeira ordem em , definimos o vetor gradiente de em , denotado por , como
.
Interpretação geométrica do vetor gradiente de funções escalares de duas variáveis
Considere a função
Suponha que as derivadas parciais de existem e são contínuas no aberto e seja um ponto pertencente à curva de nível de . Suponha ainda que . Considere agora uma curva arbitrária , que contém o ponto , e está inteiramente contida na curva de nível de . Além disso, suponha que é parametrizada pela função
e que é diferenciável no intervalo aberto , onde é um intervalo que contém , onde é tal que e , para todo . Além disso, vamos supor que . Observe que dizer que está inteiramente contida na curva de nível de se traduz em afirmar que
e, em particular, que
(1).
Derivando os dois lados da equação (1), obtemos que:
,
que, pela regra da cadeia, fornece
.
Desta forma, em particular, temos que
. (2)
Lembrando que fornece o vetor tangente à curva C no ponto como supusemos que e , a equação (2) acima afirma que é perpendicular à curva , no ponto . Como é uma curva arbitrária contida na curva de nível de , concluímos que
“ O vetor gradiente de no ponto é perpendicular à curva de nível de que contém ."
Dizemos assim, que é um vetor normal à curva de nível de , no ponto . A equação cartesiana da reta normal que contém o ponto . A equação desta reta é dada por
Além disso, a reta que contém o ponto e é perpendicular a é chamada de reta tangente à curva de nível de no ponto . A equação desta reta é dada por
Exemplo 1
A curva , parametrizada pela função , é uma curva que contém o ponto e é tal que , , onde . Seja , tal que e . Determine a equação da reta normal e da reta tangente a no ponto .
Solução:
Como a curva é tal que , temos que está contido na curva de nível 3 de Sendo assim, como sabemos que o gradiente de uma
função ́e perpendicular as suas curvas de nível, vamos determinar o gradiente de no
ponto , pois, desta forma, teremos determinado um vetor perpendicular a no ponto . Neste caso, temos que
.
Sendo assim, a equação da reta perpendicular a no ponto é dada por
e a equação da reta tangente a no ponto é dada por
Nas figuras abaixo, temos um esboço do gráfico de , do plano , da curva e da reta tangente e da reta normal a no ponto .
No seguinte exemplo, você pode visualizar esta propriedade do vetor gradiente nas curvas de nível da função . Lembramos que, para esta função, as curvas de nível são circunferências.
Exemplo 2
A curva , parametrizada pela função , é uma curva que contém o ponto e é tal que s, , onde . Seja , tal que e . Determine a equação da reta normal e da reta tangente a no ponto .
Solução:
Como a curva é tal que , temos que está contido na curva de nível 3 de Sendo assim, como sabemos que o gradiente de uma
função ́e perpendicular as suas curvas de nível, vamos determinar o gradiente de no
ponto , pois, desta forma, teremos determinado um vetor perpendicular a no ponto . Neste caso, temos que
.
Sendo assim, a equação da reta perpendicular a no ponto é dada por
e a equação da reta tangente a no ponto é dada por
Nas figuras abaixo, temos um esboço do gráfico de , do plano , da curva e da reta tangente e da reta normal a em um ponto qualquer. Sinta-se a vontade para manipular a curva de nível ou o ponto.
Interpretação geométrica do vetor gradiente de funções escalares de três variáveis
Considere a função
Suponha que as derivadas parciais de existem e são contínuas no aberto e seja um ponto pertencente à superfície de nível de . Suponha ainda que . Considere agora uma superfície arbitrária , que contém o ponto , e está inteiramente contida na superfície de nível de . Além disso, suponha que é parametrizada pela função
e que é diferenciável no intervalo aberto , onde é um intervalo que contém , onde é tal que e , para todo . Além disso, vamos supor que . Observe que dizer que está inteiramente contida na superfície de nível de se traduz em afirmar que
e, em particular, que
(1).
Derivando os dois lados da equação (1), obtemos que:
,
que, pela regra da cadeia, fornece
.
Desta forma, em particular, temos que
. (2)
Lembrando que fornece o vetor tangente à superfície C no ponto como supusemos que e , a equação (2) acima afirma que é perpendicular à superfície , no ponto . Como é uma superfície arbitrária contida na superfície de nível de , concluímos que
“ O vetor gradiente de no ponto é perpendicular à superfície de nível de que contém ."
Dizemos assim, que é um vetor normal à curva de nível de , no ponto . A equação cartesiana da reta normal que contém o ponto . A equação desta reta é dada por
Além disso, a reta que contém o ponto e é perpendicular a é chamado plano tangente à superfície de nível de no ponto . A equação desta reta é dada por
.
Abaixo apresentamos um applet para uma melhor visualização desse conceito.
Observação: Lembre-se que se a curva é a curva dada pela interseção do gráfico de com o plano , vimos que a reta tangente à curva no ponto , na forma cartesiana, é dada pelas equações
da mesma forma, se a curva é a curva dada pela interseção do gráfico de com o plano , vimos que a reta tangente à curva no ponto , na forma cartesiana é dada pelas equações
Observe que as retas tangentes às curvas e no ponto , estão contidas no plano tangente ao gráfico da função no ponto .
Podemos reescrever a equação do plano tangente ( apresentada na sessão "Plano Tangente"), na forma
Sendo assim, fica evidente que o vetor
é perpendicular ao plano tangente, de modo que podemos definir reta normal ao gráfico da função . Confira a definição abaixo.
Definição:
Seja uma função diferenciável em . A reta
denomina-se reta normal ao gráfico de no ponto .
Note que o vetor perpendicular ao plano tangente ao gráfico da função no ponto , é dado por é igual ao produto vetorial dos vetores e , que são os vetores tangentes às curvas e , que são as curvas dadas, respectivamente, pela interseção do gráfico de com os planos e .
Abaixo apresentamos um applet com o intuito de visualizar o plano tangente, o vetor normal a uma superfície e a reta normal. Note que o ponto é manipulável pela superfície.
* O conteúdo apresentado foi gerado através das notas da professora Denise de Oliveira Pinto, do Departamento de Matemática Aplicada da Universidade Federal Fluminense*