4 Punkte - stereographisch ...
... und ihre Symmetrien
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Möbius-Werkzeuge circle-tools (April 2019)
Zu 4 verschiedenen Punkten in der GAUSSschen Zahlen-Ebene gibt es 4 eindeutig bestimmte, paarweise orthogonale Kreise - einer davon ist imaginär - mit der Eigenschaft: die 4 Punkte liegen paarweise harmonisch zu den Schnittpunkt - Paaren der orthogonalen Kreise. Dazu vergleiche man die Aktivität 4 Punkte und ... ihre Symmetrien. Eine geeignete Möbiustransformation - das ist komplex eine gebrochen-lineare Funktion - bildet die 4 Punkte auf die komplexen Zahlen ab. Diese 4 komplexen Zahlen liegen "punktsymmetrisch", das heißt harmonisch zu den Punkte-Paaren . Die zugehörigen orthogonalen Kreise sind: . Abhängig von der Reihenfolge wird die Lage von 4 Punkten charakterisiert durch ihr Doppelverhältnis- .
- .
- ist reell und . Das Doppelverhältnis der 4 Punkte ist bei jeder Reihenfolge reell. Die 4 Punkte liegen auf einem Kreis. Im Applet oben liegen die Punkte auf einem der genannten orthogonalen Kreise.
- ist reell und . Die Punkte liegen paarweise spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen. Für das Doppelverhältnis gilt in dieser Reihenfolge . Im Applet oben liegen die Punkte dann auf 2 orthogonalen Winkelhalbierenden-Kreise der orthogonalen Kreise.
- Die 4 Punkte liegen auf einem der orthogonalen Kreise in harmonischer Lage: in einer der Reihenfolgen der Punkte gilt . Die Punkte liegen paarweise spiegelbildlich zu 2 orthogonalen Winkelhalbierenden-Kreisen.
- : Tetraeder-Lage! für jede Reihenfolge der Punkte. Die Punkte liegen auf Schnittpunkten der Winkelhalbierenden-Kreise und sind spiegelbildlich zu je 2 der orthogonalen Winkelhalbierenden-Kreise. Symmetrie-Gruppe ist die Tetraeder-Gruppe.