Funciones Vectoriales
Una funcionalidad vectorial es aquella cuyo dominio es un grupo de números reales y cuyo rango es un grupo de vectores. Esto significa que tenemos la posibilidad de conceptualizar la funcionalidad como:
r(t)=(f(t),g(t),,h(t))=f(t)+g(t)+h(t)
Derivada de funciones vectoriales.
Si r(t ) =(f (t ),g (t ),h (t ))= f(t )i +g(t )j +h(t )k donde son funciones derivables entonces:
r′(t) = (ƒ′(t), g′(t), ℎ′(t)) =ƒ′(t) i+ g′(t) j + ℎ′(t) k
1. Ejemplo:
Calcule la derivada de r(t)=(1+ t3) i +t e−t j+ sen(2)t k
R= Se deriva cada componente de r: r′(t)=3t2 i+(1−t)e−t j+2cos2t k
OJO:
Al vector r′(t) se le denomina vector tangente a la curva descrita por la curva C: r(t) en el punto P siempre que r′(t) exista y r′(t) ≠ 0
La recta tangente a C: r(t) en el punto P se define como la recta que pasa por P y que es paralela al vector tangente r′(t).
El vector unitario tangente es: T(t) = r′(t)/|r′(t)|
Al igual que las funciones de valores reales la segunda derivada de una función vectorial r es la derivada de r′ es decir r′′ = (r′)′
2. Ejemplo:
Determine las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la hélice de ecuaciones paramétricas
x=2cos t y=sen t z= t en el punto (0,1,pi/2)
La ecuación vectorial de la hélice es r(t)= (2cos t, sen t, t) de modo que r´(t)=(-2sen t, cos t, 1)
El valor del parámetro que corresponde al punto (0,1, pi/2) es t= pi/2 de modo que el vector tangente es r´( pi/2)=(-2,0,1)
La recta tangente es la recta que pasa por (0,1, pi/2) y es paralela al vector (−2,0,1) de modo que sus ecuaciones paramétricas son
x=-2t y=1 z=pi/2
Integrales de funciones Vectoriales
Si r(t)=(f(t),g(t),h(t))=f(t)i+g(t)j+h(t)k donde son funciones integrables entonces
Ejemplo:
Calcule la integral de r(t)= (2cos t)i+ sent j+ 2t k) en el intervalo [0, pi/2]
Se integra cada componente de r: