elliptic differential equation
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books conics bicircular-quartics Darboux-cyclides (März 2021)
Die Applets zeigen die Vektorfelder der elliptischen Differential-Gleichung Auf 3 Weisen können 2 Punkte-Paare als Grundpunkte von 2 elliptischen Kreisbüschel ausgewählt werden. Durch jeden Punkt , von den Brennpunkten abgesehen, geht je ein Kreis aus den beiden Kreisbüscheln. Für sind die Richtungsvektoren des Vektorfeldes Winkelhalbierende der beiden Kreise. Die Lösungen hängen ab von der Lage der Brennpunkte. Die Lage der Brennpunkte (foci) wird möbiusgeometrisch charakterisiert durch das Doppelverhältnis (cross ratio): , abhängig von der Reihenfolge der Punkte, bzw. von der absoluten Invariante, welche auch als absolute Invariante der elliptischen Differentialgleichung bezeichnet wird Ist reell und sind die Brennpunkte verschieden, so sind sie konzyklisch () oder 2 Paare von ihnen liegen spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen () . Unten: die Brennpunkte sind in"allgemeiner" Lage, dh. sie sind zunächst weder konzyklisch noch liegen sie spiegelbildlich auf zwei orthogonalen Kreisen. Sie lassen sich jedoch bewegen!move g0: die Mitte des Gitters
Unten:
| Je 2 der Punkte fallen zusammen, diese 2 Doppel-Punkte sind Grundpunkte eines elliptischen Kreisbüschels - die Lösungskurven sind die Kreise durch die beiden Grundpunkte bzw. - abhängig von - die Loxodrome, das sind die Kurven, welche die Kreise unter konstantem Winkel schneiden. Die elliptische Differentialgleichung ist eigentlich: | Alle 4 Punkte fallen zusammen - Lösungskurven sind Kreise eines parabolischen Kreisbüschels, die Richtung wird durch den Faktor bestimmt. |
2 der Brennpunkte fallen zusammen: f34
Es gibt 2 orthogonale Symmetriekreise, auf einem liegen die 3 Brennpunkte f1, f2, f34.
Wählt man f34 als , so sind f1 und f2 die Brennpunkte von konfokalen Kegelschnitten
und den dazugehörenden loxodromischen Kurven.
Lösung ist zB. , wenn man als Brennpunkte wählt.
Ein 3-facher Brennpunkt f234, ein einfacher f1:
f234 als führt zu konfokalen Parabeln, eine Lösung ist zB. mit f1 = 0.