Lösen mit inversen Matrizen
Matrixschreibweise eines Gleichungssystems
Ein lineares Gleichungssystem mit Variablen braucht mindestens verschiedene Gleichungen, damit es eine eindeutige Lösung hat. In einigen Fällen gibt es selbst dann keine Lösung oder unendlich viele Lösungen, aber zu diesen Fällen kommen wir später.
Man kann ein Gleichungssystem auch mit Hilfe von Matrizen schreiben. Das erspart viel Schreibarbeit und ist beim Rechnen oft auch übersichtlicher:
Wenn wir der Koeffizientenmatrix den Namen geben, dann wird die obenstehende Gleichung einfach zu
Mit der Koeffizientenmatrix und den Vektoren und
Schreiben eines Gleichungssystems mit Koeffizientenmatrix
Mit dem folgenden Applet kann geübt werden, ein Gleichungssystem mit Hilfe der Koeffizientenmatrix in eine Matrizen-Gleichung zu verwandeln
Lösen der Matrizen-Gleichung A · x = b
Da die Zahlen der Koeffizientenmatrix und des Vektors gegeben sind, möchten wir als Lösung gerne den Vektor berechnen.
Bei einer Gleichung wie wäre das ganz einfach, wir teilen die Gleichung durch und erhalten das gewünschte . Bei der Gleichung mit der Koeffizientenmatrix geht das leider nicht, denn:
MAN KANN NICHT DURCH MATRIZEN TEILEN
Wir haben hier gesehen, dass Addieren und Multiplizieren zumindest in günstigen Fällen geht, aber durch eine Matrix teilen, also dividieren, das geht gar nicht.Inverse Matrizen
Aber wie immer haben die Mathematiker trotzdem einen Weg gefunden, wie man Gleichungen lösen kann, wie
Mit inversen Matrizen. Die inverse Matrix zu einer Matrix heißt .
Quadratische Koeffizientenmatrizen haben meistens eine inverse Matrix.
Wer das etwas genauer verstehen möchte, muss spätere Kapitel zu Rate ziehen, denn es gilt: Wenn der Rang einer quadratischen Koeffizientenmatrix (siehe hier, was der Rang einer Matrix ist) gleich der Anzahl der Variablen ist, dann hat diese Matrix auch eine inverse Matrix .
Für inverse Matrizen gilt:
Wobei die Einheitsmatrix ist. Je nachdem, ob eine -, eine - oder eine -Matrix ist, lautet die Einheitsmatrix , oder . Das geht natürlich auch für noch höhere Dimensionen. Wenn man einen Vektor oder eine Matrix mit einer Einheitsmatrix multipliziert, dann bleiben sie wie sie sind. Genau so wie beim Multiplizieren mit der Zahl 1.
Lösen einer Matrizengleichung mit der inversen Matrix
Wir betrachten wieder die Gleichung (s.o.)
Wenn es zu eine inverse Matrix gibt, dann kann man die gesamte Gleichung von der linken Seite mit dieser inversen Matrix multiplizieren:
Jetzt ist nur noch die Frage, wie man eine inverse Matrix berechnet. Das ist händisch ein Extrakapitel wert, aber mit dem CAS-Taschenrechner (z.B. HP Prime) geht das ganz einfach: Man speichert die Matrix zum Beispiel als ab und gibt dann ein. Mit Geogebra verwendet man die Anweisung "invertiere()" .
So ist die inverse Matrix der Koeffizientenmatrix die Matrix
Man kann leicht überprüfen ob das stimmt, denn aus dem Produkt dieser beiden Matrizen muss die Einheitsmatrix herauskommen: . Prüfen Sie es nach!
Achtung!
Sie können die Matrizen-Gleichung auf diese gleiche Weise nach oder nach auflösen. Aber vorsicht! Einmal müssen Sie die inverse Matrix von rechts und einmal müssen Sie diese von links multiplizieren:
aber
Übung: Gleichungssysteme lösen mit inversen Matrizen
Verwenden Sie das oben stehende Applet, um sich ein Gleichungssystem anzeigen zu lassen.
- Erstellen Sie dann die dazu passende Koeffizientenmatrix und schreiben diese auf
- Berechnen Sie die inverse Matrix mit dem CAS und schreiben diese auf
- Lösen Sie das Gleichungssystem mit der inversen Matrix und vergleichen Sie ihr Ergebnis mit der Lösung aus dem Applet.