Función Partición
¿Alguna vez te has preguntado si los números sólo se pueden representar de una forma?
Definición 1
La función partición se define como el número de maneras en que el entero positivo n puede escribirse como una suma de enteros positivos. No se considera que dos particiones sean diferentes si difieren solamente en el orden de sus sumandos. Es conveniente definir
Ejemplo
si
Por lo tanto De modo semejante, , , , ,
Definición 2
a) el número de particiones de en sumandos menores o iguales a .
Ejemplo: si tomamos n=7 y m=3 nos queda
b) el número de particiones de en sumandos impares.
Ejemplo: si tomamos n=7 nos queda
c) el número de particiones de en sumandos distintos.
Ejemplo: si tomamos n=7 nos queda
d) el número de particiones de en un numero par de sumandos distintos.
Ejemplo: si tomamos n=7 nos queda
e) el número de particiones de en un numero impar de sumandos distintos.
Ejemplo: si tomamos n=7 nos queda
Haremos la convención , .
Teorema 1
a) si
b) para todo
c) si
d)
Demostración:
Con la excepción posible de, todas estas son obvias a partir de las definiciones. Para probar se observa que cada partición de contada por tiene o bien no tiene un sumando igual a . Las particiones de la segunda clase son contadas por. Las particiones de la primera clase se obtienen agregando un sumando a cada partición de en sumandos menores que o iguales a , y de aquí en número son . Si , el término cuenta la sola partición .
Teorema 2
Para se tiene
Gráficas
Una partición de n puede representarse geométricamente. Si es una partición, pueden arreglarse los sumandos en tal forma que . Entonces la gráfica de esta partición es el arreglo de puntos que tiene los puntos en el reglón superior, los en el siguiente reglón y así sucesivamente hacia abajo hasta los en el reglón inferior.
Si se lee la gráfica horizontalmente en lugar de verticalmente, se obtiene una partición posiblemente diferente. Por ejemplo, de se obtiene . A partir de la partición que consiste de sumandos con el mayor sumando , se obtiene una partición de en sumandos con el mayor sumando . Dado que esta correspondencia es reversible se tiene el siguiente teorema.
Teorema 3
El numero de particiones de en sumandos es el mismo que el numero de particiones de que tiene el mayor sumando . El numero de particiones de en cuando más m sumandos en .
Teorema 4
Si entonces:
Antecedentes Historicos
Sobre el teorema y la función partición no podemos mencionar sólo a un filosofo o matemático a quién se le atribuya el origen y desarrollo del mismo, ya que ha sido un trabajo de años que ha llevado a cabo más de una persona, pero sí podemos destacar a algunos de ellos.
Leonhard Euler
El principal matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes y prolíficos de todos los tiempos, muy conocido por el número de Euler (), número que aparece en muchas fórmulas de cálculo y física. Este matemático fue uno de los primeros en trabajar con el teorema y la función partición, de hecho parte de su trabajo posterior tiene estrecha relación a este.
Godfrey Harold Hardy y Srinivasa Ramanujan
Estos matemáticos trabajaron en el tema de las particiones de números, obteniendo algunas expresiones asintóticas para la función partición. Su trabajo tuvo tal repercusión que fue llevada al teatro como la obra "Partition", la cual lleva el titulo en honor a la teoría matemática pero también por los distintos factores que distanciaron a los dos personajes.
Norman Macleod Ferrers
Este matemático desde el inicio de sus estudios fue un destacado alumno. El conocido diagrama de Ferrers surge en respuesta a una pregunta que este recibió, la cual decía: "Demuestre que el número de formas en que cualquier número puede estar compuesto por números (no necesariamente diferentes entre sí) es igual al número de formas en que puede estar compuesto por y no exceden a , sin considerar el orden en el que están los números ". Además Ferrers recibió varios honores, el más notable fue la elección como miembro de la Royal Society en 1877. También fue galardonado con un LL.D. por la Universidad de Glasgow en 1883.
Autores
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Cristobal Pinto: cristobalpinto23@hotmail.com Javiera Aránguiz: javiaranguiz9@gmail.com