0101 Az abszolút, az euklideszi és a hiperbolikus geometria kapcsolata
A geometria modern axiómarendszere
A mai modern geometria bármely axiomatikus, vagy többé-kevésbé axiomatikus felépítése során kimondott axiómákat az alábbi csoportokra oszthatjuk:
- illeszkedési axiómák;
- rendezési axiómák;
- egybevágósági axiómák;
- folytonossági (mérési) axiómák;
- euklídeszi párhuzamossági axióma vagy hiperbolikus párhuzamossági axióma .
Az első négy axiómacsoportra, az ún. maradék axiómarendszerre épül a – Bolyai János szóhasználatával élve – abszolút geometria, amely semmilyen formában nem tartalmazza a párhuzamossági axiómát. Attól függően, hogy a felmerülő lehetőségek közül melyiket választjuk párhuzamossági axiómaként, az euklideszi vagy a Bolyai János (1802-1860) és N.I. Lobacsevszkij (1792-1856) nevéhez fűződő ún. hiperbolikus geometriát építhetjük tovább. A továbbiakban, amikor különböző kijelentéseket (fogalmakat, axiómákat, definíciókat, tételeket) említünk, határozottan ki fogjuk emelni, hogy egy kijelentés az abszolút geometria körébe tartozik-e, vagy csak az euklideszi, ill. a hiperbolikus geometriában érvényes. Ezért az abszolút geometriai kijelentéseinket lila színnel, az euklideszit kékkel, a hiperbolikus geometriában érvényeseket pirossal fogjuk jelezni. Ezekkel a színekkel is szeretnénk sugallni, hogy az abszolút geometria közös része az euklideszi és a hiperbolikus geometriának.
Íme a három kategória három – vizsgálataink szempontjából kulcsfontosságú – kijelentése:
- A maradék axiómarendszerrel bizonyítható, hogy a sík egy adott egyenesére merőleges egyenesek nem metszik egymást, így tehát vannak egy síkban fekvő, egymást nem metsző egyenesek.
Nevezzünk párhuzamosnak két egyenest, ha egy síkban vannak és nem metszők.
- Ha adott egy egyenes, és egy rá nem illeszkedő pont, akkor a pont és egyenes síkjában az adott ponton át az adott egyenessel legfeljebb egy párhuzamos húzható.
- Egy adott egyeneshez és egy rá nem illeszkedő ponthoz a pont és egyenes síkjának legalább két olyan egyenese tartozik, amely az adott pontra illeszkedik és az adott egyenessel párhuzamos.
A két utóbbi kijelentés az euklideszi, ill. a hiperbolikus geometria párhuzamossági axiómája, melyek egymás tagadásai. Az abszolút geometria axiómarendszerén belüli eszközökkel ugyanis nem dönthető el, hogy hány ilyen, adott egyenessel párhuzamos egyenes illeszthető a sík egy adott pontjára. Bolyai János zsenialitása kellett ahhoz, hogy erre a megállapításra jusson. Így a kérdést egy újabb axióma bevezetése oldhatta csak fel, amely azonban kétfelé ágaztatta az addig egységes geometriai rendszert.
A párhuzamosság kérdésére adhatunk olyan választ is, miszerint nincsenek egy síkban fekvő, egymást nem metsző egyenesek, ez azonban ellentmond a maradék axiómarendszernek. Arra a kijelentésre, hogy bármely két, egy síkban fekvő egyenes metsző, felépíthető az ún. elliptikus geometria. Ehhez azonban módosítanunk kell a maradék axiómarendszerünket. Így hát a párhuzamosság kérdésére adott negyedik kijelentésünk ez lehetne:
- A sík bármely két pontjára pontosan egy egyenes, és bármely két egyenesére pontosan egy pont illeszkedik. →
Az elliptikus geometriában pl. az egyenes zárt vonal. Így nem mondhatjuk azt, hogy egy egyenesre illeszkedő három pont közül valamelyik mindig a másik kettő között van. Ezért nem értelmezhető a félegyenes, a szakasz, a tengelyes tükrözés stb. fogalma. (Gondoljunk például a gömbi geometriára, ahol a síknak a gömbfelület, egyenesnek a gömbi főkör fele meg.)
A matematikusok – az ellipszis, parabola és hiperbola analógiájára gondolva – szívesen használják az elliptikus, parabolikus, és hiperbolikus jelzőket annak a hangsúlyozására, hogy valamiből éppen 0, 1 vagy 2 van. Olvasóinkra bízzuk az analógia kibontását: a mi témakörünkben miből van éppen 0, 1 vagy (legalább) 2.
A továbbiakban kizárólag síkgeometriai kérdésekkel foglalkozunk. 