Médianes d'un triangle
Démonstration du concours des médianes avec les aires, basée sur la transitivité de l'égalité :
Soit G le point d'intersection des médianes [AA’] et [BB’] d'un triangle ABC.
G est sur [AA’] donc d'après la propriété ci-dessus Aire(ACG) = Aire(ABG) ;
de même, G est sur [BB’], donc Aire(ABG) = Aire(BCG).
On en déduit : Aire(ACG) = Aire(BCG) d'où, d'après la réciproque de la propriété ci-dessus, G est sur la médiane [CC’] et les médianes sont concourantes en G centre de gravité du triangle.
Les trois triangles ABG, BCG et ACG sont d'aires égales : le centre de gravité d'un triangle le partage en trois triangles de même aire.
Corollaire : [GA’] est la médiane de GBC, les triangles GA’B et GA’C ont même aire. On en déduit que G permet le partage du triangle ABC en six triangles d'aires égales.
Outils GeoGebra
Le centre de gravité se trouve avec les commandes
- G = CentreGravité[]
- ou bien avec le point X(2) de ETC (encyclopédie des points du triangle) : G = TriangleCentre[A,B,C,2]