Le funzioni continue
Il concetto di limite permette di definire una proprietà molto importante delle funzioni, detta continuità. Una funzione si dice continua nel punto se
ovvero se quando i valori di input si avvicinano ad , le corrispondenti immagini si avvicinano sempre più ad , cioè al risultato che la funzione effettivamente ha nel punto considerato .
Derivando dal limite, che si occupa di descrivere la funzione in un intorno di un punto, anche la continuità è una proprietà innanzitutto locale, che quindi riguarda solo un punto ed il suo intorno. Una funzione però può essere continua nell'intervallo , se è continua in tutti i punti di quell'intervallo. Una funzione che è continua per qualsiasi valore reale a volte per brevità si dice semplicemente che è continua tout court, anche se è sempre bene specificare per quali punti vale questa proprietà.
FUNZIONI CONTINUE E DISCONTINUE
La maggior parte delle funzioni che conosciamo è continua. Esiste una serie di teoremi per dimostrarlo, che si basano sullo studio delle funzioni elementari e delle loro combinazioni. Dato che la definizione di continuità è un limite, partendo dalla verifica formale dei limiti di dimostra che
- la funzione e la funzione costante sono continue.
- la somma o la differenza di due o più funzioni continue genera una funzione continua, perciò ad esempio è continua perché è la somma di due funzioni dei tipi considerati al punto 1)
- il prodotto di due o più funzioni continue è una funzione continua, perciò la funzione è continua. Per il punto 2 ne concludiamo che anche è continua perché somma (punto 2) di prodotti di funzioni continue.
Riportiamo qui sotto a titolo riassuntivo la definizione di continuità e consideriamo i vari casi in cui NON è soddisfatta, cioè in cui la funzione NON è continua; da ognuno dei quali si definisce una tipologia di discontinuità.
I possibili casi in cui questa uguaglianza NON è rispettata sono:
- non esiste , cioè la funzione non ha risultato in - cioè NON appartiene al dominio della funzione.
- non esiste , oppure esiste ma non è un valore finito. Infatti se il limite è o esso non potrà mai essere uguale ad , che per forza è un numero finito.
- esistono entrambi i valori, ma non sono uguali tra loro.
