0701 Mérésekkel kapcsolatos feladatok a P-modellen
Most már bátran használhatjuk mindazokat az eljárásokat, amelyek a P-modell eszköztárában megtalálhatók. Azonban továbbra sem fogjuk szem elől téveszteni azt az alapcélt, hogy aszerint osztályozzuk a vizsgálatainkat, hogy azok csak a hiperbolikus geometriában, vagy az abszolút geometriában – így az euklideszi geometriában is – érvényesek-e.
Feladatok
- Egy háromszög defektusának nevezzük a háromszög szögösszegének az egyenesszögtől való eltérését.
- Az euklideszi geometriában bármely háromszög defektusa nulla.
- a hiperbolikus geometriában bármely háromszög defektusa pozitív.
- Legyen adott a B1A1C1 szög valamint az [A2D) félegyenes! Tengelyes tükrözésekkel állítsuk elő a B1A1C1 szöggel, egybevágó, vele azonos irányítású B2A2C2 szöget, melynek egyik szára az [A2D) félegyenes!
Vizsgáljuk meg, hogy
- az eredeti és a kapott szög – fokokban mért – mértéke milyen pontosan egyezik meg;
- egy E ponttal megadott mértékegységet használva az A1B1 és A2B2 valamint az A1C1 A2C2 szakaszok H-mérőszámai milyen pontosan egyeznek meg;
- az A1B1 és A1C1 valamint az A2B2 és A2C2 szakaszok aránya egyenlő-e, és független-e a mértékegység megválasztásától!
- Legyen adott a P-modellen egy E ponttal meghatározott távolságegység, az [AD) félegyenes. valamint egy-egy csúszkával megadott mértékű b távolság, és a 0° < α < 180°-os szög. Szerkesszük meg azt a pozitív körüljárású ABC egyenlő szárú háromszöget, amelynek a csúcsszöge α, és az AB szára az [AD) félegyenesre esik! Mekkora a háromszög BC alapja és az alapon fekvő szöge? Mennyi a defektusa?
- Az abszolút geometriai szerkesztések eszköztárával előállítottunk a H-számegyenesen (néhány) egész számnak megfelelő pontot. Vizsgáljuk meg, hogy a képlettel kapott pontok egész x értékekre milyen pontosan esnek egybe a szerkesztéssel kapott pontokkal!
- Legyen adott a P modellen az E ponttal adott távolságegység, valamint az ABC háromszög három csúcsa. Adjuk meg a háromszög szögeinek a nagyságát (mérőszámát) fokokban, és a δ =180°-(α+β+γ) defektusát – a szögek összegének az egyenes szögtől mért eltérését). Adjuk meg az oldalak E-től függő H-hosszát. E mérőszámokat megadva mutassuk meg, hogy a.) bármely háromszög defektusa pozitív; b.) bármely háromszög nagyobb oldalával szemközti szög nagyobb; c.) mutassuk meg, hogy a háromszög bármely két oldalának a hossza nagyobb a harmadik oldal hosszánál.
- Legyen adott az A és B pont. Vizsgáljuk meg, hogy a.) mekkora szög alatt látszik az AB átmérőjű s kör pontjaiból az AB szakasz; b.) mi azon pontok mértani helye a P-modellen, ahonnan az AB szakasz derékszög alatt látszik?
- Legyen adott a P-modellen az s kör (középpontjával és egy kerületi pontjával), valamint egy rajta kívül Levő P pont! Szerkesszük meg a P-re illeszkedő s-t érintő egyeneseket!
- Szerkesszünk a P-modellen n oldalú szabályos sokszöget, ha adott a köréírt körének a középpontja és egy egyik csúcsa! Engedjük meg az önátmetsző eseteket is. Mekkorák a sokszög szögei? Olvasóink előzetes megnyugtatására közöljük, hogy az alábbi két feladat önálló megoldását nem várjuk el. Az eredmények megismerését, megértés viszont igen. Ezeket a kérdéseket maga Bolyai János vetette fel, és adott rájuk hiánytalan választ.
- Legyen adott a P-modellen az a egyenes és a rá nem illeszkedő P pont. A P-modell eszköztárával tehát lényegében az euklideszi szerkesztés eszköztárával szerkesszük meg a P-re illeszkedő, a-hoz (egyik ill. másik irányban) egyirányú - aszimptotikusan párhuzamos - egyeneseket!
- Legyen adott ismét a P-modellen az a egyenes és a rá nem illeszkedő P pont. Milyen kapcsolat van a P pontnak az a egyenestől mért d távolsága és a P-ből a-ra bocsátott merőlegesnek és az előző feladatban megszerkesztett P-n átmenő a-val egyirányú egyenesnek a szöge között?