Polynom Regression Herleitung
Verfahren
Einsetzen der Punkte in eine Ausgleichsgerade
ergibt ein GLS
geschrieben als Matrixgleichung
A = Y ===>
Minimiere die Abweichungsquadrate Residuen R (Residuenquadratsumme bezeichnet Abweichungsquadratsumme). Erweitern auf Polynome höheren Grades erweitert die Matrix um Spalten mit Potenzen von xi (Parabel xi2 , kubische Parabel xi2 xi3)...
Min Q (Zeile 1-15)
suche lokales Minimum der Residuenfunktion :
minimiere (partielle Ableitungen):
was ein LGS ergibt
das als Matrixgleichung geschrieben führt auf
Normalengleichung (Zeile 15-)
aus Residuenfunktion Q
Vom Gleichungssystem der Kurvenpunkte zur Normalengleichung
→֍
Wahl des Regressionspolynoms durch Anpassung des Koeffizientenvektors , Koeffizienten mit dem Schieberegler n (Grad des Polynoms). In der Liste Graph sind A_1 .. A_9 Punkte vorgelegt (aktuell A_1 .. A_6 verwendet) - maxA_n anpassen. Punkte anfassen und verschieben oder im Algebrafenster ändern...
Wahl des Regressionspolynoms durch Anpassung des Koeffizientenvektors , Koeffizienten mit dem Schieberegler n (Grad des Polynoms). In der Liste Graph sind A_1 .. A_9 Punkte vorgelegt (aktuell A_1 .. A_6 verwendet) - maxA_n anpassen. Punkte anfassen und verschieben oder im Algebrafenster ändern...
App Beispiel
Eine kubische Regressionsparabel der Bauart
Punkte P1...P5 in Parabelform eingesetzt LGS als Matrix-Gleichung
(10)
Vandermonde Matrix
A (ai) = (yi)
Normalengleichung (orthogonal minimiere Überbestimmte LGS):
AT A (ai) = AT (yi)
(22)
Löse
(ai) = (AT A)-1 AT (yi)
(26)
Die Normalengleichung für eine Ausgleichsgerade schreib ich mit zusammengefassten Summen auf
, , ,
===>
===>
===>
===>
===> ,
Eine Formel für die Geradenparameter mit leicht berechenbaren Summen aus den Koordinaten der Regressionspunkte.
Bestimmtheitsmaß
| Sx =Sum(X) Sy =Sum(Y) Sxx=Sum(X X) Sxy=Sum(X Y) | {{n, S_x}, {S_x, S_{xx}}}^-1 {S_y, S_{xy}} | |