Les arcs en degrés
Toutes les sphères sont semblables
Puisque toutes les sphères sont semblables, nous pouvons nous contenter, comme en trigonométrique plane, d'étudier la sphère unitaire, c'est-à-dire celle de rayon 1. Si la sphère qui nous intéresse est plutôt de rayon , il suffira de diviser les longueurs par pour les amener sur la sphère unitaire. L'on y fera aisément tous les calculs requis, puis nous multiplierons les longueurs que l'on aura obtenues par pour les ramener sur la sphère d'origine. Bref, supposons que la sphère est de rayon 1...
La longueur d'un arc de grand cercle
Sur la sphère unitaire, les grands cercles sont de rayon 1. La longueur d'un arc de grand cercle reliant les points et est donc égale à celle de l'angle , en radians (bien entendu). Travailler avec cet angle (que l'on appelle l'angle au centre de la sphère) ou avec l'arc de grand cercle, c'est du pareil au même. C'est pourquoi, les longueurs d'arcs seront des mesures d'angles au centre, et vice-versa.
Puisqu'il est d'usage, dans les domaines qui emploient la trigonométrie sphérique, de donner les longueurs d'arc en DEGRÉS, nous suivrons cette convention dans ces notes.
Une convention bien commode
Rappelons que l'arc de grand cercle est le plus petit des deux arcs du grand cercle passant par deux points et sur la sphère. Un arc de grand cercle ne dépasse jamais un demi-tour (essayez-le sur l'appliquette ci-haut), ou, dit autrement, si est un arc de grand cercle, alors
Des arcs de 90° entre un pôle et son grand cercle
De la définition des pôles d'un grand cercle, il suit qu'un arc reliant un pôle à n'importe quel point de son grand cercle mesure . Cette remarque servira ces notes de cours à quelques reprises.