Paralelogramma
Legyen D az ABC Δ C csúcsának az AB felezőpontjára vonatkozó tükörképe!
Nevezzük H-paralelogrammának az így kapott ABCD H-négyszöget!
Az euklideszi geometriában értelmezett paralelogrammának mely tulajdonságai lesznek érvényesek a hiperbolikus geometriában is, és melyek nem?
Elemzés
A P-modelllen így értelmezett paralelogramma:
- középpontosan szimmetrikus négyszög;
- szemközti oldalai egybevágók (egyenlők);
- átlói felezik egymást;
- szemközti szögeik egyenlők;
- szomszédos szögeinek összege kisebb az egyenesszögnél;
- a szemközti oldalak közös merőlegese illeszkedik az átlók felezőpontjára; (csak egy-egy olyan egyenes létezik, amely a szemközti oldalakra merőleges).
- Igaz-e, hogy az ABCD csúcspontokkal adott H-paralelogrammát az átlói négy egyenlő területű háromszögre osztják?
- Igaz-e, hogy bármely H-négyszög oldalfelező pontjai H-paralelogrammát alkotnak?
- Minek nevezhetnénk azt a paralelogrammát, amelynek az átlói merőlegesek egymásra?
- Van-e olyan négyszög, amely H-paralelogramma és egyben H-húrnégyszög? Ha igen, mit tudunk a szögeiről? Minek nevezhetnénk ezt a négyszöget?
- Az euklideszi geometriából ismert , hogy ha egy négyszög rendelkezik az alábbi tulajdonságok egyikével, akkor a többivel is. Ezek közül melyek nem fogadhatók el a paralelogramma definíciójaként az abszolut geometriában:
- (P1) két-két (szemben fekvő) oldala párhuzamos; (P2) két-két szemben fekvő oldala egyenlő; (P3) két-két szemben fekvő szöge egyenlő; (P4) két (szemben fekvő) oldala párhuzamos és egyenlő; (P5) átlói felezik egymást; (P6) középpontosan szimmetrikus?