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Die zugeordnete ON-Basis

Autor:Walter Füchte
Vier (verschiedene) Punkte können auf drei Weisen paarweise durch Geraden verbunden werden:
  • und
    • 
  • und
    • 
  • und
Für die Lie-Produkte , und rechnet man leicht nach (mittel Hilfe der allgemeinen Entwicklungsregel, Rechnungsbeispiel s. u. *)):    Denkt man sich die Verbindungsgeraden-Vektoren von vornherein normiert: so gelten und für die Lie-Produkte , und (entsprechend definiert) erhält man damit: . Diese Geradenvektoren bilden also in eine ON-Basis. Die Pole dieser Basis-Vektoren sind die Schnittpunkte von 3 paarweise orthogonalen Kreisen und können bei geeigneter Orientierung durch eine Möbiustransformation auf die Punktepaare , und abgebildet werden. Wegen gilt , also trennen die Pole und von die Punktepaare } und } harmonisch. Sind die Pole von nach der Möbiustransformation, so sind  - die Bilder von bzw. } punktesymmetrisch zum Ursprung: und . - Die Bilder der Punktepaare bzw. liegen entsprechend harmonisch zu , d.h. es muss und gelten: Fazit: 4 verschiedene Punkte der Möbiusebene können stets durch eine Möbiustransformation auf , für ein geeignetes abgebildet werden. Berechnung der Invarianten: nächste Seite. Hinweis zu den für das obige Applet zugrundeliegenden Rechnungen: die komplexen Zahlen werden im euklidischen KOS auf die komplexen Berührgeradenvektoren abgebildet. LIE-Produkte werden mit dem komplexen Kreuzprodukt berechnet. Um die Pole eines Geradenvektors zu berechnen, muss man die Lösungen der komplexen quadratischen Gleichung bestimmen. *) Begründung für die Gleichung         Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene.

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