Die Ableitung an einer Stelle x_0
Jetzt wird's ein bisschen formal-mathematisch...
Aber keine Angst: Bei der folgenden Definition geht es nur darum, verbindliche Begriffe für das bisher entdeckte festzulegen.
Definition der Ableitung
Wenn für eine Funktion und eine Stelle der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert, dann bezeichnet man ihn als Ableitung der Funktion an der Stelle und schreibt dafür:
.
Erläuterungen zur Definition
Du siehst: Eigentlich ist Ableitung nur ein anderer Begriff für die Steigung des Funktionsgraphen an einer bestimmten Stelle. Diesen Zusammenhang solltest du dir ganz fest merken. Er spielt immer wieder eine große Rolle.
Vielleicht fragst du dich jetzt noch, was das "wenn der Grenzwert existiert" in der Definition bedeuten soll. In der Tat ist es so, dass es den nicht immer gibt. Dazu zwei Beispiele:
- und
Hier ist schon aus der Anschauung klar, dass eine Tangente an der Stelle Null senkrecht wäre, d.h. ihre Steigung wäre unendlich, und das ist kein zulässiger Grenzwert. Auch rechnerisch würde es nicht gehen, weil im Differenzenquotienten der Ausdruck vorkommt, aber gibt es nicht. Hier existiert der Grenzwert also nicht und damit auch keine Ableitung an dieser Stelle.
- und
Auch hier ist anschaulich klar, dass es nicht funktionieren kann, im Punkt (0|0) eine Tangente zu bestimmen. Denn welche Steigung sollte die haben? An die "Ecke" kann sie sich nicht in einer bestimmten Richtung "anschmiegen".
Rechnerisch äußert sich das hier folgendermaßen:
Wenn wir den zweiten Punkt für die Sekante von rechts her immer näher gegen (0|0) wandern lassen, bekommen wir als Sekantensteigung immer die Steigung des rechten Geradenstücks (also 1) raus. D.h. der Grenzwert wäre dann 1. Wenn wir uns allerdings dafür entscheiden würden, uns von links her mit dem zweiten Punkt anzunähern, bekämen wir ständig -1 als Sekantensteigung raus und damit auch als Grenzwert -1. Auch in einem solchen Fall, wenn der Grenzwert nicht eindeutig ist, sagen die Mathematiker, dass kein Grenzwert existiert.
Aufgabe
Berechne für . Tipp: das ist nichts anderes als die Aufgabe vom Arbeitsblatt Rechnerische Bestimmung der Tangentensteigung über den Grenzwert. Nur die Schreibweise unterscheidet sich. Dort war die Aufgabe so formuliert, dass eine Tangentensteigung an einer Stelle berechnet werden sollte, deshalb haben wir mit gestartet. Nun ist eine Ableitung zu berechnen, aber Ableitung bedeutet ja gerade Tangentensteigung, haben wir eben gelernt. Das ist die 1,5. Starte also diesmal so: . Rechne im Heft und trage hier nur das Erbegnis ein: