Fermat priemgetallen als voorwaarde...
vergelijkingen en vierkantswortels
Door zijn kennis van de wiskunde en zijn briljant wiskundig inzicht kon Gauss de vraag "welke regelmatige veelhoeken kan je construeren met enkel een passer en lineaal" benaderen vanuit een heel nieuwe kijk op het probleem. "Je kunt een regelmatige n-hoek construeren met enkel passer en lineaal, als de overeenkomstige vergelijking oplossingen heeft waarin enkel vierkantswortels voorkomen en geen hogere machtswortels".
- Vergelijkingen van de tweede graad hebben oplossingen in de vorm van vierkantswortels. De overeenkomstige regelmatige veelhoek heeft 3 zijden en je kunt hem construeren met passer en lineaal.
- Vergelijkingen van de vierde graad hebben oplossingen in de vorm van vierkantswortels. De overeenkomstige regelmatige veelhoek heeft 5 zijden en je kunt hem construeren met passer en lineaal.
- Vergelijkingen van de zesde graad hebben geen oplossingen in de vorm van vierkantswortels. De overeenkomstige regelmatige veelhoek heeft 7 zijden en je kunt hem niet construeren met passer en lineaal.
Fermat priemgetallen
Fermat priemgetallen zijn getallen van de vorm 2k + 1, waarbij k zelf een macht van 2 is.
We kunnen dus ook schrijven (2)2^n +1
Nemen we alsvoor n respectievelijk 0, 1, 2, 3 en 4 dan worden de eerste Fermat priemgetallen:
- n=0: (2)2^0 + 1 = 21 + 1 = 2 + 1 = 3
- n=1: (2)2^1 + 1 = 22 + 1 = 4 + 1 = 5
- n=2: (2)2^2 + 1 = 24 + 1 = 16 + 1 = 17
- n=3: (2)2^3 + 1 = 28 + 1 = 256 + 1 = 257
- n=4: (2)2^4 + 1 = 216 + 1 = 65536 + 1 = 65537
meer construeerbare regelmatige veelhoeken
Meteen kon Gauss het lijstje van regelmatige veelhoeken die je kunt construeren met passer en lineaal uitbreiden. De volgende Fermat priemgetallen zijn 17 en 257.
Gauss moest dus niet gokken en lukraak proberen of hij een 9, 11 of 13-hoek kon construeren. Hij wist dat het moest lukken met 17.