Des différences remarquables
Voici deux différences importantes entre la géométrie plane et la géométrie sphérique. Elles sont étonnantes et peut-être un peu inquiétantes pour la suite, car les droites parallèles et les triangles rectangles sont des outils essentiels pour les constructions géométriques et pour la résolution de problèmes de trigonométrie dans le plan... [Rappelons que les droites parallèles nous permettent de reporter à un autre endroit un angle ou une mesure donnée et que les triangles rectangles sont à la base d'à peu près toutes techniques de mesure dans les triangles...]
Aucunes droites parallèles
Puisque deux grands cercles (des droites sur la sphère) distincts se coupent nécessairement en deux points, il n'y a pas de droites parallèles sur la sphère!
Des triangles sphériques rectangles
Un triangle sphérique rectangle possède un angle droit. Dans le plan, comme la somme des angles d'un triangle égale , il ne peut y avoir qu'un seul angle droit dans un triangle.
Ce n'est pas le cas sur la sphère (voir l'appliquette ci-dessous), car on peut avoir un triangle rectangle avec deux angles droits et même... trois angles droits!
Mais il faut pour cela que la somme des angles d'un triangle sphérique soit supérieure à . C'est ce que nous montrerons sous peu.