Бірінші және екінші көлеңкелердің қасиеттері туралы
ABCD - биіктік шеңбері, Е - оның ортасы, ал DJ - биіктік шеңберінің жазықтығы мен көкжиек (горизонт) шеңберібиіктігінің қиылысуы; DE -D нүктесінде көкжиек жазықтығына тікбұрыш жасап тұрған қада (гноман), СК - биіктік шеңберіжазықтығының С нүктесінде көкжиекке тікбұрыш жасап тұрған жазықтықпен қиылысуы, ал СЕ осы жазықтықта тұрған қада. AG доғасының биіктігі берілген болсын делік. GEF-ті яғни қаданьщ төбесі мен көлеңкеніңсоңын қосатын сәулені сызамыз; DF көлеңкесіAG биіктігінің жазық көлеңкесінемесе екінші көлеңкесі деп аталатын DE қадасының көлеңкесі, ал СН көлеңкесіайналдырылған көлеңкенемесе AG биіктігінің бірінші көлеңкесідеп аталатын СЕ қадасының көлеңкесі.
Егер біз BG биіктігі берілген десек, сонда бұл үшін екінші қада, яғни СЕ - жазық көлеңке, ал бірінші қада, яғни DE айналдырылған көлеңке болады. Сондықтан DF көлеңкесі BG биіктігінің бірінші көлеңкесі, ал СН ол үшін екінші көлеңке болады; BG биіктігі AG-нің толықтырушысы, сондықтан әрбір биіктіктің бірінші көлеңкесі осы биіктіктің толықтырушысының екінші көлеңкесі, ал әрбір биіктіктің екінші көлеңкесі осы биіктіктің толықтырушысының бірінші көлеңкесі болады (33-сурет).
Айналдырылған көлеңке бірінші көлеңке делінеді, себебі Күн көріне бастағанда бұл көлеңке өзгереді және де Күн жоғары көтерілген сайын көлеңке де ұзара түседі, ал екінші көлеңке [жазық деп аталады], осы көлеңке әлгі биіктік жоғарылаған сайын қысқара бастайды. Міне, біздің дәлелдегіміз келгені де осы.