0505 A háromszög oldalai közötti kapcsolat

Feladat:

Mutassuk meg, hogy a háromszög bármely két oldalának az összege nagyobb, mint a harmadik oldal.

Megoldás:

Mint láttuk , a P-modellen nem tudjuk ránézésre megítélni a háromszög oldalainak a nagyságrendi viszonyait. Így a kérdésre -egyelőre - csak szerkesztéssel tudunk kielégítő választ adni. Addig, amíg nem tudjuk (vagy nem akarjuk) "mérni" a szakaszok hosszát, fontos tisztáznunk, hogy mit értünk két szakasz összegén.

Két szakasz összegén azt a szakaszt értjük, amelyet úgy oszt két részre egy belső pontja, hogy e részek külön-külön egybevágók az összeadandó szakaszokkal.

A célunk az, hogy tükrözésekkel a fenti módon egy egyenesre, egymás mellé illesszük az a és c oldalt. Ehhez először felvesszük a B csúcshoz tartozó g belső szögfelezőt, majd az e csúcshoz tartozó külső szög t szögfelezőjét, amely merőleges g-re. Erre C-t tükrözve A, B és C valóban egy egyenesre fog illeszkedni a kívánt módon. Összehasonlításként itt is az vizsgáljuk, hogy C belül van-e az A középpontú a+c sugarú körön. (Megfigyelhetjük, hogy c akkor illeszkedik az s_a+c körvonalra, ha A, B, C egy egyenesre illeszkedik.)

Háromszög egyenlőtlenség a hiperbolikus geometriában

A feladat bővítése:

Állapítsuk meg (rögzítsük a képernyőn) a csúcsaival adott ABC háromszög oldalai közötti nagyságrendi viszonyt ‑ a szakaszok mérése nélkül.

A kibővített feladat megoldása:

A P-modell saját eszköztára erre a vizsgálatra egyszerű lehetőséget kínál: pl. ha az A pontra illeszkedő Hkör[B,A] és Hkör[C,A] körök egyaránt metszik az A csúccsal szemközti a=(BC) oldalt, akkor biztosak lehetünk abban, hogy a háromszög leghosszabb oldala a, épp úgy, mint az euklideszi geometriában. A háromszög minden oldalához két-két ilyen kört rajzolva elegendő összeszámolnunk az egy-egy oldalon kapott metszéspontokat. (Ezek itt rendre az m_a, m_b, m_c számok.) Így a szakaszok összemérése helyett elegendő a kapott metszéspontok száma szerint rendezni a háromszög oldalait. A programkészítő számára legfeljebb a kapott eredmények kiírása jelent némi kihívást. Az alábbi programot letöltve megismerkedhetnek olvasóink néhány - talán másutt is alkalmazható - fogással.

A háromszög oldalainak nagyság szerinti rendezése

Egy meglepő sejtés:

Javasoljuk olvasóinknak, hogy a fenti appleten kapcsolják be a koordináta-rendszert és a négyzetrácsot, majd állitsák be az ABC háromszög csúcsait rendre a (0,0), (4,2), (4,-2) pontba. Mit tapasztalnak? Hogyan lehetne igazolni, vagy legalább az eszköztárunkkal megerősíteni a kapott sejtést?

A fenti sejtés lényegében egy elemi koordinátageometriai feladat. Erre a feladatra olyan elemi geometriai bizonyítást mutatunk be, amelyben nem használjuk a P-modell saját eljárásait. Tulajdonképpen a GeoGebrára sincs szükség, legfeljebb a szemléltetést segíti. Mindazok, akik szeretik az igazán szép feladatokat önállóan megoldani, próbáljanak ellenállni a kísértésnek, és amíg nincs meg a saját megoldásuk, ne görgessék tovább a szerkesztési lépéseket.