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Teorema di Wallace-Bolyai-Gerwien
Il Teorema di Wallace-Bolyai-Gerwien e' un teorema di geometria euclidea dimostrato nella prima meta' del sec. XIX (indipendentemente da William Wallace, Farkas Bolyai e Paul Gerwien).
Afferma che due poligoni aventi la stessa area sono sempre equiscomponibili: e' possibile tagliare il primo in un numero finito di poligoni piu' piccoli che, riarrangiati in modo diverso, formano il secondo.
La strategia della dimostrazione e' la seguente. Si osserva per prima cosa che se due poligoni sono equiscomponibili con una terza figura comune, lo sono anche tra di loro. Si dimostra quindi che un qualsiasi poligono e' equiscomponibile con un rettangolo avente una delle dimensioni pari a .
Siccome (a) ogni poligono e' scomponibile in un numero finito di triangoli e (b) piu' rettangoli di base possono essere giustapposti a formare un rettangolo piu' alto, ancora di base , e' sufficiente dimostrare l'ultimo risultato per i triangoli.
L'analogo tridimensionale del teorema di Wallace-Bolyai-Gerwien e' falso: due poliedri aventi lo stesso volume non sono necessariamente equiscomponibili in poliedri piu' piccoli.
Infatti, in risposta al terzo problema di Hilbert (1900), Max Dehn dimostro' nel 1901 che un cubo e un tetraedro aventi lo stesso volume non sono equiscomponibili.
