Milchpackung optimieren
Aufgabe
Eine Milchpackung soll optimiert werden.
Die Milchpackung soll 1 Liter Milch enthalten.
Außerdem wird festgelegt, dass für die Seiten und der Grundfläche gelten soll:
Bestimmen Sie die Maße der Milchpackung mit minimalem Flächeninhalt der Oberfläche.
Sie können zunächst mit dem Schieberegler die Länge der Seite a variieren und so einstellen, dass der Wert für O minimal wird.
Anschließend versuchen Sie durch Rechnung das Ergebnis zu bestätigen.
So geht's
(I)
(II)
(III)
Mithilfe der Gleichung (III) kann man a in den Gleichungen (I) und (II) ersetzen
(IV)
(V)
In Gleichung (IV) kann man verwenden und nach c auflösen:
Setzt man das nun in (V) ein, so erhält man die Formel für den Flächeninhalt der Oberfläche:
Der Flächeninhalt der Oberfläche ist jetzt nur noch von abhängig.
Die notwendige Bedingung für ein lokales Minimum ist
Vorzeichenwechselkriterium
An der Stelle besitzt die Funktion O ein lokales Minimum
Für und für strebt die Funktion O gegen Unendlich. Damit ist der Funktionswert
Das globale Minimum.