La loi des sinus sphérique
Dans le plan, la loi des sinus met en relation les paires angle-côté. On a, par exemple, pour les paires angle-côté et :
On peut trouver une relation similaire pour les triangles sphériques.
Une relation dans les triangles sphériques rectangles
Nous pouvons découper une ribambelle d'identités concernant les triangles sphériques,
particulièrement si l'on ne se concentre que sur les triangles sphériques rectangles (comme dans le plan).
Rappelons que si est un triangle (plan) rectangle en , alors, par exemple,
Il se trouve une identité semblable pour tout triangle sphérique rectangle.
Le tout repose sur les faits suivants concernant des plans perpendiculaires, qui sembleront évidents à tout étudiant de géomatique.
Rappelons qu'une droite est perpendiculaire à un plan si, peu importe d'où on l'observe en se trouvant sur le plan, elle s'élève à angle droit (par exemple, peu importe d'où l'on regarde un gratte-ciel, il est perpendiculaire au sol). [On dirait, peut-être plus précisément, que la droite est perpendiculaire à toute droite contenue dans ce plan.] Nous avions exploité cette idée afin de trouver une formule permettant de calculer la distance entre deux points dans l'espace.
On peut garantir qu'un poteau se tient droit (dans le sens de perpendiculaire au sol) en s'assurant qu'il soit perpendiculaire à deux directions quelconques (c'est d'ailleurs comment fonctionne les niveaux de coin pour poteaux) . Il faudrait montrer sérieusement cette affirmation, mais contentons-nous de l'évidence [ou cliquez sur cette phrase]...
Pour ces mêmes raisons, si deux murs (deux plans) sont perpendiculaires au sol (un plan), alors la droite là où ils se rencontrent sera aussi perpendiculaire au sol.
L'appliquette ci-dessous utilise ces deux constatations afin de trouver une identité fort intéressante concernant les triangles sphériques rectangles.
On sait désormais que, dans tout triangle sphérique rectangle,
On aurait développé le même argumentaire, mais en partant du sommet , et l'on aurait obtenu :
| REMARQUE | La similitude avec l'identité pour un triangle rectangle dans le plan est frappante. |
La loi des sinus sphérique
Armés de l'identité
qui tient dans tout triangle sphérique rectangle, nous pouvons découvrir la loi des sinus sphérique.
Pour ce faire, nous abaissons une hauteur [sphérique!] à partir, par exemple, du sommet (nous supposons que ce sommet tombe bel et bien sur le côté opposé; autrement, il suffit de modifier légèrement l'argumentaire).
Nous avons alors que
En isolant dans les deux équations, l'on trouve
d'où
et
qui est la loi des sinus sphérique!