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GeoGebraTarefa

Aire minimale d'un triangle dans un rectangle

On considère un rectangle ABCD tel que AB = 5 et BC = 3. On place les points M, N et P respectivement sur les segments ]AB[, ]BC[ et ]AD[ de telle sorte que les longueurs AM, BN et DP soient égales. Il s'agit de déterminer la position du point M sur le segment [AB] pour que l'aire du triangle MNP, inscrit dans le rectangle, soit minimale. Construction
  • On affiche les axes.
  • On construit le rectangle ABCD avec A et B sur (Ox) - Le point A a pour abscisse x(A).
  • Puis on définit a = 1, et on affiche le curseur a ainsi défini, en indiquant dans ses propriétés Min = 0 et Max = 3.
  • Avec a = AM = BN = DP, on crée le triangle avec les points M(x(A) + a, 0), N(x(A) + 5, a) et P(x(A), 3 - a), puis on nomme b le triangle MNP, GeoGebra renvoie son aire.
  • On construit enfin le point L de coordonnées (a, b) dont on active la trace.
Placer un curseur a et tracer la figure en plaçant un point M sur [AB] de coordonnées (x(A)+a, 0). Nommer b le triangle MNP. Pour le graphique, placer un point L et remplacer ses coordonnées par (a, b) ; il aussi possible de taper directement dans la ligne de saisie : L=(a,b). Activer la trace de ce point ou bien, en sélectionnant la dernière option du menu droite, tracer le lieu de L piloté par le curseur a.
Conjecture On peut dès lors faire varier a et conjecturer b = 3,5 pour a = 2. Parabole avec GeoGebra
  • En déplaçant le curseur a sur toute sa longueur, on observe que la trace semble être une branche de parabole. Pour effacer la trace du point L, cliquer sur « Réinitialiser la construction » ou appuyer simultanément sur les deux touches CTRL et F.
  • Cocher la case parabole de recherche, saisir la fonction carré f(x) = x^2, et l'«amener » sur la trace par trouve la fonction f représentant l'aire.
  • Cocher la case parabole solution : GeoGebra affiche alors la fonction (x - 2)² + 3,5 = x² - 4x + 7,5, ce qui permet de répondre à la question.
En effet, le calcul de l'aire est du second degré. Vérifier la parabole sur trois points suffit pour valider le résultat. Descartes et les Mathématiques - Optimisation en classe de seconde : http://www.debart.fr/geogebra/triangle_ds_rectangle_classique.html