Középértékek a geometriában
Gondoltad volna, hogy egy trapézban megjeleníthető mind a négy nevezetes középérték? És még a köztük fennálló nagyságrendi viszonyok is rögtön láthatók!
Egy szimmetrikus érintőtrapézban szeretnénk megjeleníteni az alapok felének
különböző középértékeit.
Emlékeztető
Emlékeztetőül: Hogyan lehet képlettel felírni az és pozitív számok számtani
(), mértani (), harmonikus () és négyzetes () közepét?
Az ábrán látható trapéz szimmetrikus (tehát húr-) trapéz és érintőnégyszög egyben. Az pont a trapézba írható kör középpontját jelöli.
Az alapok hosszának felét -val illetve -vel jelöljük.
1. feladat
Az pontban a trapéz magasságára merőlegest állítunk, ez az szárat az pontban metszi. Mutasd meg, hogy az szakasz hossza éppen az és szakaszok hosszának számtani közepével egyenlő!
2. feladat
Mutasd meg, hogy a trapézba írt kör sugara (, ahol az érintési pont) éppen az és szakaszok hosszának mértani közepével egyenlő!
3. feladat
A pontból a trapéz szimmetriatengelyére bocsátott merőleges talppontja legyen . (A pont egyben a trapéz átlóinak metszéspontja.)
Mutasd meg, hogy ekkor a szakasz hossza az és szakaszok hosszának harmonikus közepével egyenlő!
4. feladat
Végül az pontból a hosszabb alap irányában a kör átmérőjére felmérve egy hosszúságú szakaszt és az így kapott pontot az ponttal (az szár felezőpontja) összekötve egy derékszögű háromszöget kapunk. Mutasd meg, hogy ennek az átfogója éppen az és szakaszok hosszának négyzetes közepével egyenlő!
5. feladat
Haladj végig a törött vonalon. Állapítsd meg, hogy milyen reláció áll fenn a következő középértékek között:
számtani-mértani, mértani-harmonikus, számtani-négyzetes!
6. feladat
Milyen összefüggés olvasható le a középértékek egymáshoz viszonyított nagyságáról,
adott és értékek esetén?
7. feladat
Mikor egyenlők ezek a közepek? Mit mondhatunk el ekkor a kiindulási trapézunk
speciális tulajdonságairól?