Section d'un cube et milieux de deux arêtes
Cas particulier du plan déterminé par deux milieux d'arêtes et un troisième point sur une autre arête.
(Les trois arêtes ne sont pas concourantes.)
– I et J sont les milieux des arêtes concourantes [HE] et [HG] du cube ABCDEFGH.
K est un point sur l' arête [BF].
– Trouver l'intersection de (IJK) avec le plan (EFG),
étudier l'intersection des plans (IJK) et (BEG).
Indications
– Tracer le point P, intersection de (IJ) avec le côté (EF), puis le point N intersection de (IJ) avec le côté (HG).
La droite (KP) coupe l'arête [AE] en M et la droite (KN) coupe l'arête [CG] en L.
Le pentagone IJLKM est la section du cube par le plan (IJK).
– La droite (IJ) est parallèle à la diagonale (EG), puisque (IJ) est une droite des milieux du triangle HEG.
La droite (IJ) est incluse dans le plan (IJK) et la droite (EG) est incluse dans le plan (BEG).
Les points U, intersection de [KM] et [BE] et V intersection de [KL] et [BG] sont à l'intersection de ces plans (IJK) et (BEG).
D'après le théorème du toit, la droite (UV), intersection des deux plans, est parallèle aux droites (IJ) et (EG).
Elle est donc parallèle à la face (EFGH).
Cas général
Plan déterminé par trois points sur les arêtes d'un cube, I et J sur deux arêtes concourantes
Descartes et les Mathématiques - Sections planes d'un cube