La funzione seno (e coseno)
Vogliamo studiare ora l'andamento delle funzioni goniometriche, cioè di quelle relazioni che dato l'angolo restituiscono il valore della corrispondente grandezza goniometrica.
Nella prossima animazione ci occupiamo della funzione che dato un angolo restituisce il seno di quell'angolo (vedremo che la funzione coseno è molto simile). Metteremo quindi l'angolo sulle , e sulle otterremo il corrispondente valore del seno di quell'angolo; costruiremo quindi il grafico della funzione .
PERIODO E FREQUENZA
Ricostruendo la funzione seno abbiamo scoperto il concetto di periodicità e di periodo: la funzione seno è periodica, perché dopo un certo intervallo dell'input - nel caso del seno , i risultati si ripetono in modo identico.
La proprietà di essere periodica rende la funzione del seno (ed anche quella del coseno, che ha un comportamento identico) molto utile al di là dello studio degli angoli: essa infatti può essere utilizzata per descrivere QUALSIASI fenomeno periodico, ovvero che si ripete dopo un certo intervallo, come ad esempio le onde sonore o elettromagnetiche.
Per questa ragione definiamo meglio ed approfondiamo le caratteristiche legate alla periodicità delle funzioni goniometriche.
Innanzitutto formalizziamo il concetto di periodicità con la seguente scrittura, che afferma che il seno di un angolo è uguale a quello di qualsiasi altro angolo che che si ottiene sommando o sottraendo ad un qualsiasi numero intero di angoli giri:
Ad esempio se consideriamo (e a titolo di esempio) abbiamo:
è il periodo del seno; il periodo di una funzione periodica è l'intervallo dopo il quale i suoi risultati si ripetono; viene indicato con il simbolo T. Se vogliamo dire che una generica funzione è periodica con periodo T, generalizzeremo la scrittura vista sopra per il seno e diremo che
Definiamo infine la frequenza, indicata dal simbolo f,come il numero di volte in cui la funzione si ripete in un'intervallo unitario, cioè pari ad 1.
Per chiarire il concetto facciamo alcuni esempi concreti.
ESEMPIO 1: Il colibrì gigante sbatte le ali con periodo pari a di secondo: significa che per battere le ali impiega questo intervallo di tempo, e poi ricomincia con un nuovo battito. Puoi verificare facilmente che il suo battito ha una frequenza di 15 battiti/secondo, dato che in un secondo riesce a battere le ali 15 volte.
ESEMPIO 2: Se per digitare una lettera sulla tastiera impiego due secondi, il mio periodo è appunto T=2s (dopo due secondi sono pronto a ricominciare con una nuova lettera) mentre la mia frequenza è f=0.5 lettera/s (in un secondo batto "mezza" lettera).
ESEMPIO 3: Se una persona ha frequenza cardiaca di 60 battiti al minuto, significa che in un minuto il suo cuore batte 60 volte. Di conseguenza un battito dura di minuto, cioè un secondo, che è il suo periodo (dopo un secondo ricomincia un nuovo battito).
Da tutti questi esempi si deduce che periodo e frequenza sono uno il reciproco dell'altra, cioè
.
Molti esempi di fenomeni periodici sono eventi periodici nel tempo; in questo caso il periodo è espresso in secondi e l'unità di misura della frequenza è quindi o meglio , ed assume il nome di Hertz (simbolo Hz)*.
ESEMPIO 4: la funzione seno ha periodo , cioè circa che per semplicità possiamo arrotondare a , perchè per completare un ciclo impiega appunto circa unità sull'asse delle . La sua frequenza è quindi circa : se impiega circa unità per completare un ciclo, in una unità compie un sesto di ciclo. Più precisamente la sua frequenza è o per essere esatti ]
ESEMPIO 5: un processore con frequenza 1GHz, ovvero 1 GigaHertz (circa 1 miliardo di Hertz) può fare 1 miliardo di operazioni elementari in un secondo, quindi ogni operazione dura un miliardesimo di secondo (periodo).
* anche se dico "battiti al secondo", i battiti sono un numero puro: è un puro conteggio, quindi non ha unità di misura che contribuisca a definire l'unità di misura della frequenza (a differenza della velocità lineare, che si misura in metri al secondo - .
COSTRUIRE LA FUNZIONE SU MISURA: CAMBIARE l'AMPIEZZA
Vediamo ora come costruire una funzione che risponda alle nostre esigenze.
Nell'animazione qui sotto iniziamo a modificare la funzione in modo che le sue oscillazioni abbiano un'AMPIEZZA non di 1, ma con un valore a nostra scelta.
MODIFICARE IL PERIODO (E LA FREQUENZA)
La funzione seno ha un periodo , perché ogni volta che l'angolo aumenta di questa valore abbiamo "fatto un giro" sul cerchio goniometrico e quindi ricominciamo ad ottenere gli stessi valori.
Vediamo ora come ottenere una funzione con un periodo qualsiasi T. Il periodo di una funzione si indica con la lettera T perché una funzione periodica può essere utilizzata per descrivere qualsiasi fenomeno che si ripete, e molti fenomeni di questo tipo si ripetono nel tempo (di conseguenza il periodo indica quanto tempo deve passare perché il fenomeno si ripeta identico, e quindi si misura in secondi).
Abbiamo quindi ottenuto che per avere una funzione sinusoidale con periodo T basta considerare l'espressione
Spesso la si scrive nel formato per riunire tutti i numeri costanti - il nostro esempio diventa - si tratta chiaramente della stessa cosa.
La "nostra" scrittura è anzi più chiara: la frazione , che nel nostro esempio diventa , "conta" quanti periodi da sono contenuti in - ad esempio dopo secondi sono passati periodi; questo numero viene poi moltiplicato per , così che nel complesso la funzione seno "vede" un angolo pari a , cioè angoli giri.
Allo stesso modo dopo secondi sono passati periodo; quindi l'argomento del seno risulta essere , cioè effettivamente la metà di un angolo giro.
Nella animazione qui sopra per semplicità abbiamo parlato solo di periodo, ma ovviamente si può ripetere lo stesso discorso riferendosi alla frequenza. La nuova funzione che abbiamo costruito, avendo , ha frequenza : cioè se impiega 5 secondi a finire un ciclo, significa che in un secondo compie di ciclo.
Allo stesso modo si può modificare la formula generale: se una funzione con periodo ha espressione
, dato che ovvero abbiamo che possiamo esprimere la stessa funzione come
cioè