1109 Egy egyenest és egymást érintő körök
Feladat:
Legyen adott egy egyenesen két pont, A és B. Szerkesszünk olyan egymást érintő köröket, amelyek egyike az adott egyenest A-ban, másikat B-ben érinti. Mi a két kör közös pontjának a mértani helye?
Ezt a feladatot Tarcsay Tamás tanár úr tűzte ki.
Megoldás:
Az itt említett abszolút geometriai összefüggéseket felidézve keressük meg a két kör közös érintési pontjának a mértani helyét. Ez az AB átmérőjű s kör lesz. Mivel abszolút geometriai összefüggésekre hivatkoztunk, most tekintsünk el az euklideszi geometriai eset megrajzolásától, Egyből a P modellen, mutatjuk meg a feladat megoldását.
A különbség mindössze annyi, hogy míg az euklídeszi geometriában az s kör minden A-tól és B-től különböző pontjához tartozik megoldás, ez a P modellen nincs így. Ugyanis
- a hiperbolikus geometriában egy adott kört érintő e egyeneshez a körnek két, e-vel egyirányú, és végtelen sok e-vel ultrapárhuzamos érintője tartozik.
A P-modellen:
A gömbön:
Ugyanez a feladat a gómbfelületen is megoldható, ahol -természetesen - az egyenes szerepét a gömbi főkör veszi át.