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Aproximación de raíces por bisección (2 de 2)

Autor:César Romero Félix

Parte 1: Bisección repetida k veces

Sobre la construcción anterior, se añadirán nuevos elementos. Antes de iniciar esta sección, debes tener:
  • polinomio p(x)
  • números a, b, n, r, sa, sb, sr
  • Puntos A, B, R
  • Botón para bisección manual, un paso a la vez
Crearemos un botón que aplique la misma acción, pero ahora K veces. 1. Crea un número entero, k, con un valor entero relativamente alto  k=50 2. Crea un segundo botón para que GeoGebra aplique las instrucciones del primer botón k veces, con el guión Repite(k, EjecutaAlClic(botón1)) El primer botón debe llevar de nombre "botón1"

Según la fórmula

¿Cuál debería ser la raíz diferente de cero?

¿A las cuántas repeticiones se obtendría el valor exacto de pi?

comprobar el funcionamiento de la construcción

1. Redefine el polinomio p con la siguiente entrada: p(x)= x^5+4x^4+x^3-10x^2-4x+8

2. ¿Cuál es el valor de la raíz negativa? ¿Cuántos clicks se necesitaron para aproximar la raíz?

3. Vuelve a aproximar la raíz negativa con valores iniciales de a=-3 b=0 ¿Por qué crees que geogebra deja de aproximar el valor de la raíz antes de llegar a r=2?

4. Intenta aproximar la raíz positiva ¿Describe qué pasa cuando usas el botón?

5. ¿Por qué crees que este método sólo encuentra raíces de multiplicidad impar?

Parte 2: Cálculo de raíces pares

Para calcular las raíces de multiplicidad par, hay que complementar la construcción usando la relación entre un polinomio y su derivada. Si r es una raíz de multiplicidad par de p(x), entonces también es raíz de la derivada p'(x).

¿Las raíces pares de p(x), son pares o impares de p'(x)?

Marca todas las que correspondan
  • A
  • B
Revisa tu respuesta (3)
Usando la respuesta anterior, si encontramos las raíces impares de p'(x) estaríamos encontrando las raíces pares de p(x). Crearemos un segundo botón para aproximar estas otras raíces, pero primero:
  1. Crea la derivada de p, escribiendo directamente en la barra de entrada: p'
  2. Crea los números equivalentes a los signos de a, b y r, para p'(x): sa2= sgn(p'(a)) sb2= sgn(p'(b)) sr2= sgn(p'(r))
  3. Crea el nuevo botón para aproximar raíces pares, con el guión: Valor[r,(a+b)/2] Si[sa2==sr2, Valor[a,r]] Si[sb2==sr2, Valor[b,r]]
Este tercer botón, por default se llamará botón3 Ahora puedes crear un cuarto botón que aplique K repeticiones del botón3  4. Crea el botón k bisecciones pares con el siguiente guión:   Repite(k, EjecutaAlClic(botón3))

5. ¿Este polinomio p(x) tiene raíces complejas? Explica por qué

6. ¿Cuál es la fórmula factorizada del polinomio p?

Parte 3: Comprobación final

El archivo construido hasta este paso te debe permitir aproximar todas las raíces reales positivas y negativas. Para comprobarlo, factoriza (lo más posible) los siguientes polinomios.

1)

p(x)=x^6-0.091x^5 + 2.693x^4+3.006x^3-3.213x^2-2.761x

2)

p(x)=x^6-3.821x^5+9.342x^4-15.218x^3+11.543x^2-1.573x-1.276

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