Polstellen
Wir betrachten die Funktion . Wie sieht der Graph aus und warum? Das machen wir uns in mehreren Schritten klar.
Im folgenden Applet können Sie mit dem linken Schieberegler kleine x-Werte und mit dem rechten Schieberegler große x-Werte einstellen und beobachten, wie sich dabei die y-Werte verhalten. Gleichzeitig werden die entsprechenden Punkte im Koordinatensystem eingezeichnet, sodass sich ein Teil des Funktionsgraphen ergibt.
Was passiert, wenn wir x noch kleiner werden lassen, d.h. noch näher an x = 0 heran gehen? Anders gefragt: Was passiert für ? Schauen Sie sich das anhand des folgenden Schiebereglers an, indem Sie x immer kleiner werden lassen.
Wie man sieht, werden die y-Werte immer größer, je näher x gegen Null geht. Für x=0 wäre ein unendlich großer y-Wert zu erwarten. Das sieht man auch am Graphen, der unendlich nach oben verläuft, je näher er der y-Achse (d.h. dem Wert x=0) kommt. Unendlich ist nun kein Wert ist, mit dem sich mathematisch arbeiten lässt. Daher ist der x-Wert Null hier nicht zugelassen. f ist an der Stelle x=0 nicht definiert (n.d.). Es gilt also:
und für die Definitionsmenge: Die Stelle x=0 nennt man auch Definitionslücke.
Als nächstes untersuchen wir, wie sich der Graph auf der linken Seite von der y-Achse verhält, d.h. für negative x.
Das folgende Applet zeigt eine Wertetabelle zur Funktion . Die y-Werte auf der linken Seite sind noch falsch (da alle null). Erschließen Sie die richtigen Werte ohne zu rechnen aus den angegebenen y-Werten der rechten Seite und tragen Sie sie in die Tabelle ein. Immer wenn Ihr eingetragener Wert richtig ist, erscheint der entsprechende Punkt im Koordinatensystem.
Damit wissen wir nun, wie der Graph von aussieht.
Für , d.h. ganz rechts und ganz links nähert sich der Graph der x-Achse, d.h. die x-Achse ist eine waagerechte Asymptote.
Für nähert sich der Graph der Y-Achse, wobei x=0 eine Definitionslücke darstellt. Die y-Achse ist eine senkrechte Asymptote. Die Stelle x=0 sieht deshalb merkwürdig aus, weil der Graph in zwei getrennte Teile - einen rechts und einen links von der y-Achse - zerfällt. So etwas kommt immer an den Stellen vor, an denen durch Null geteilt, d.h. der Nenner der Funktion null wird. Solche Stellen nennt man Polstellen. An Polstellen, und nur an Polstellen (!) liegen, und zwar immer, senkrechte Asymptoten vor.